Предел и непрерывность функции многих переменных
Понятия предела и непрерывности функции нескольких переменных вводятся аналогично понятиям предела и непрерывности функции одной переменной. § d-окрестностью точки М0(х0;у0) называется множество всех точек М(х;у) плоскости, для которых выполняется условие , то есть внутренних точек круга с центром в точке М0 и радиусом d. Множество, состоящее из всех внутренних точек круга, за исключением самой точки М0, называется проколотой d-окрестностью точки М0. Пусть функция z=f(x;y) определена в некоторой окрестности точки М0(х0;у0), за исключением, может быть, самой этой точки. § Число А называется пределом функции z=f(x;y) при (или при М(х;у)®М0(х0;у0)), если для любого существует такое, что для всех точек М(х;у) из проколотой d-окрестности точки М0(х0;у0) выполняется неравенство . Обозначают . Из определения следует, что если предел существует, то он не зависит от пути, по которому точка М стремится к точке М0. Предел функции двух переменных обладает свойствами, аналогичными свойствам предела функции одной переменной, позволяющими вычислять пределы суммы, произведения, отношения функций. § Функция z=f(x;y) называется непрерывной в точке М0(х0;у0), если она определена в этой точке и некоторой ее окрестности и имеет предел при М®М0, равный значению функции в этой точке: Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области. Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области, аналогичны свойствам функций одной переменной, непрерывных на отрезке (ограниченность функции, достижимость наибольшего и наименьшего значений и т.п.) Частные производные, дифференцируемость, градиент функции многих переменных Частные производные. Частной производной функции по переменной в точке называют производную функции по переменной : . Дифференцируемость Опр: Функция определенная в окрестности называется дифференцируемой в этой точке, если ее приращение Δf в : = – = + , что Необходимое условие дифференцируемости: Если ф-ция дифференцируема в , то, 1.Она непрерывна в этой окрестности. 2.Существуют частные производные , i=1,...,m; причем Док-во: Если дифф.,то = + + , lim lim (при и )= Следовательно, непрерывна в .
Докажем, что в сущ. =0. – = + , НО lim =0, . Значит, lim =0 (аналог предела по направлению для функции m переменных) – = + , где . ( – )/ Тогда в пределе при существует что и требовалось доказать. Определение. Градиентом функции многих переменных в данной точке называется вектор, координаты которого равны частным производным по соответствующим аргументам, вычисленным в данной точке. .
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (768)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |