Показатели вариации (колеблемости) признака

Для характеристики размера вариации признака используются абсолютные и относительные показатели. К абсолютным показателям вариации относятся:

• размах колебаний;

• среднее линейное отклонение;

• среднее квадратическое отклонение;

• дисперсия;

• квартильное отклонение.
Размах колебаний (размах вариации)

,

где х_mах, x_mln - соответственно максимальное и минимальное значения признака.

Величина показателя зависит от величины только двух крайних вариант и не учитывает степени колеблемости основной массы членов ряда.

Среднее линейное отклонение ( ) и среднее квадратическое отклонение (s) показывают, на сколько в среднем отличаются индивидуальные значения признака от среднего его значения.

Среднее линейное отклонение определяется по формулам:

а) для несгруппированных данных (первичного ряда)

;

б) для вариационного ряда

.

Среднее квадратическое отклонение (s) и дисперсия (s²) определяются так:

а) для несгруппированных данных

; .

б) для вариационного ряда

; .

Формула для расчета дисперсии может быть преобразована:

,

т. е. дисперсия равна средней из квадратов индивидуальных значений признака минус квадрат средней величины. Следовательно,

.

Среднее квадратическое отклонение по всей величине всегда превышает значение среднего линейного отклонения в соответствии со свойством мажорантности средних.

Квартильное отклонение ( ) применяется вместо размаха вариации, чтобы избежать недостатков, связанных с использованием крайних значений:

,

где (Q₃ и Q_l - соответственно третья и первая квартили распределения.

Квартиль – значения признака, которые делят ранжированный ряд на четыре равные по численности части. Таких величин будет три: первая квартиль (Q₁), вторая квартиль (Q₂), третья квартиль (Q₃). Вторая квартиль является медианой. Вычисление квартилей аналогично вычислению медианы.

Сначала определяют положение или место квартили:

; ; .

Затем по накопленным частотам в дискретном ряду определяют численное значение.

В интервальном ряду распределения сначала указывают интервал, в котором лежит квартиль, затем определяют ее численное значение по формуле

,

где х_Q - нижняя граница интервала, в котором находится квартиль;

S_(Q-1) - накопленная частота интервала, предшествующего тому, в котором находится квартиль;

f_Q - частота интервала, в котором находится квартиль.

При сравнении колеблемости различных признаков в одной и той же совокупности или же при сравнении колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях с различной величиной средней арифметической используются относительные показатели вариации. Они вычисляются как отношение абсолютных показателей вариации к средней арифметической (или медиане) и чаще всего выражаются в процентах.

Формулы расчета относительных показателей вариации следующие:

коэффициент осцилляции ;

относительное линейное отклонение ;

коэффициент вариации ;

относительный показатель квартильной вариации , или .

Наиболее часто применяется коэффициент вариации. Его применяют не только для сравнительной оценки вариации, но для характеристики однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33% (для распределений, близких к нормальному).

Сложение дисперсий изучаемого признака

Изучая дисперсию интересующего нас признака в пределах исследуемой совокупности и опираясь на общую среднюю в расчетах, нельзя оценить влияние отдельных факторов, определяющих колеблемость индивидуальных значений (вариант) признака. Это можно сделать при помощи метода группировок, когда единицы изучаемой совокупности подразделяются на однородные группы по признаку-фактору. При этом кроме общей средней для всей совокупности исчисляются средние по отдельным группам ( групповые или частные средние) и три показателя дисперсии:

Ø общая дисперсия;

Ø межгрупповая дисперсия;

Ø средняя внутригрупповая дисперсия.

Величина общей дисперсии ( ) характеризует вариацию признака под влиянием всех факторов, формирующих уровень признака у единиц данной совокупности и определяется по формуле

,

где - это общая средняя арифметическая для всей изучаемой совокупности.

Межгрупповая дисперсия(дисперсия групповых средних ) отражает систематическую вариацию, т. е. те различия в величине изучаемого признака, которые возникают под влиянием фактора положенного в основу группировки. Межгрупповая дисперсия определяется по формуле

,

где х_i - средняя по отдельной группе;

n_i - число единиц в определенной группе.

Средняя внутригрупповая дисперсия( ) характеризует случайную вариацию, возникающую под влиянием других, неучтенных факторов, и не зависит от условия (признака-фактора), положенного в основу группировки.