Элементы дисперсионного анализа

Дисперсионный анализ является одним из методов изучения влияния одного или нескольких факторных признаков на результативный признак. В зависимости от количества факторов дисперсионный анализ подразделяется на однофакторный и многофакторный. Ниже рассмотрено применение дисперсионного анализа для случая однофакторного комплекса.

В основе дисперсионного анализа лежит расчленение общей вариации изучаемого признака по источникам ее происхождения на два вида вариации:

• систематическую вариацию, которая обусловлена изменением признака-фактора;

• остаточную (случайную) вариацию, обусловленную действием прочих, случайных, не связанных с данным фактором обстоятельств.

Для разграничения этих вариаций всю совокупность наблюдавшихся единиц разбивают на группы (классы) по факторному признаку и исчисляют средние результативного признака по группам.

Групповые средние

;

общая средняя

.

где x_i - индивидуальные значения признака в группе;

n_i - число единиц, входящих в группу;

п - общее число наблюдений.

Если сравнение групповых средних показывает определенное различие в их уровне, то необходимо установить, является ли это различие существенным и вызвано ли оно влиянием признака-фактора.

Для ответа на поставленный вопрос определяют два показателя дисперсии:

1) показатель , характеризующий колеблемость групповых
средних вокруг общей средней (межгрупповая дисперсия);

2) показатель , отражающий остаточную, внутригрупповую
дисперсию. Полученные показатели сравнивают, получая фактическое дисперсионное отношение:

.

При дисперсионном анализе межгрупповую и внутригрупповую дисперсии определяют путем деления суммы квадратов отклонений на соответствующее число степеней свободы:

;

,

где — число единиц в группе:

;

т - число групповых средних (число выделенных групп по признаку-фактору);

.

По таблице F-распределения Р. Фишера (см. приложение 5) при определенном уровне значимости (или доверительной вероятности)¹ и числе степеней свободы (К₁ и К₂) определяется табличное дисперсионное отношение (F_табл).

¹ Доверительная вероятность , где - уровень значимости.

Если F_расч >Ft_табл , то следует считать, что гипотеза о влиянии признака-фактора не опровергается.

Решение типовых задач

1. Из партии электроламп взята 20%-ная случайная бесповторная выборка для определения среднего веса спирали. Результаты выборки следующие (табл. 4.5).

Таблица 5

Определишь с вероятностью 0,95 доверительные пределы, в которых лежит средний вес спирали, для всей партии электроламп.

Решение

Доверительные интервалы для генеральной средней с вероятностью Р:

,

где — средний уровень признака по выборке:

мг

; .

При вероятности Р = 0,95t = 1,96 (по таблице приложения 3).

мг.

Доверительные интервалы для генеральной средней с вероятностью Р = 0,95:

;

41,7 мг ≤ ≤ 42,3 мг.

2. При контрольной проверке качества апельсинов проведена 10%-ная серийная выборка. Из партии, содержащей 50 ящиков апельсинов (вес ящиков одинаков), методом механического отбора взято 5 ящиков. В результате сплошного обследования находящихся в ящике апельсинов получили данные об Удельном весе бракованных апельсинов. Результаты следующие (табл.6).

Таблица 6

Требуется с вероятностью 0,95 установить доверительные интервалы удельного веса бракованной продукции для всей партии апельсинов.

Решение

Для установления доверительного интервала, в котором для всей партии поставки находится доля бракованной продукции, используется формула .

,

где — межсерийная (межгрупповая) выборочная дисперсия доли;

т — число ящиков, попавших в выборку;

М — общее число ящиков.

При вероятности Р = 0,95t = 1,96 (см. приложение 3).

или 0,015

(при расчете использована простая арифметическая, так как вес ящиков одинаков).

.

, или 0,3%

3. В цехе проектируется проведение моментных наблюдений для выявления текущих простоев производственного оборудования.

Требуется для организации моментных наблюдений определить необходимое число наблюдений и число обходов, если в цехе имеется 20 единиц предназначенного к работе оборудования. Никаких предварительных данных о доле простоев в сменном фонде не имеется. Ошибка наблюдения не должна превышать 5% и гарантирована с вероятностью 0,954.

Решение

Необходимая численность моментов наблюдения определяется по формуле

.

По условию задачи:

t = 2 (так как вероятность Р = 0,954);

w - доля простоев по условию не дана, поэтому принимается наибольшая дисперсия, когда w = 0,5.

, или 0,05,

.

Число обходов (т. е. число записей о каждой единице оборудования) определяется путем деления числа наблюдений на число единиц оборудования:

.