Проверка гипотез о числовых значениях параметров
Рассмотрим несколько примеров статистических критериев, предназначенных для проверки простых основных гипотез относительно числовых значений параметров анализируемых законов распределения вероятностей, т.е. речь идет о проверке основной («нулевой») гипотезы против альтернативы или , где и – заданные числовые значения параметра, который участвует в модельном описании функции распределения вероятностей анализируемой случайной величины (т.е. ). Критерии проверки гипотез о числовом значении параметра биноминального распределения Рассматриваемая задача относится к анализу результатов серии независимых испытаний Бернулли. При этом в имеющейся у нас выборке объема интересующее нас событие произошло раз. Можно интерпретировать эту серию (выборку) как единственное наблюдение -биномиальной случайной величины в ситуации, когда параметр известен, а параметр нет. Найдем критическую статистику критерия, опираясь на критерий отношения правдоподобия, как на наиболее мощный среди всех других возможных критериев. При этом для удобства будем работать не самим отношением правдоподобия, а с его логарифмом. Функция правдоподобия биномиального закона с параметрами и при единственном наблюдении имеет вид: . Критическая статистика критерия , определяемая логарифмом отношения правдоподобия при произвольном значении параметра по отношению к основному гипотетическому , будет равна . (1) Достаточно большие значения говорят о большей правдоподобности конкурирующей гипотезы , т.е. о необходимости отвергнуть основную гипотезу . Для того чтобы построить критерий при заданном значении уровня значимости , нужно определить такое значение , при котором . (2) А для того, чтобы вычислить ошибку второго рода или мощность критерия , нужно вычислить вероятность . (3) Из (1) следует, что обе эти задачи решаются, если мы будем знать распределение случайной величины как при условии справедливости «нулевой» гипотезы (т.е. при значении параметра, равном заданной величине ), так и при условии справедливости любой альтернативы. Но признак , по построению, есть биномиально распределенная случайная величина со значением параметра , определяемым в зависимости от того, в условиях справедливости какой из гипотез мы ее рассматриваем. Поэтому в дальнейшем в качестве критической статистики будем рассматривать случайную величину, распределенную по биномиальному закону с параметрами . Рассмотрим возможные варианты анализа задачи. Вариант 1. проверяется простая гипотеза при простой альтернативе , причем . Тогда смысл неравенств (2) и (3) сохраняется при замене на , а именно по заданному уровню значимости требуется найти такое , что . (2¢) Но . (2¢¢) Следовательно, требуется решить уравнение (2¢¢) относительно . Обычно для этого используют нормальное или пуассоновское приближение, а именно: · если гипотетическая величина , а число наблюдений составляет хотя бы несколько десятков, то используют теорему Муавра-Лапласа о приближенной (асимптотической) стандартной нормальности случайной величины . Тогда при . (2¢¢¢) Следовательно, аргумент функции стандартного нормального распределения является квантилем уровня этого распределения (квантилем уровня непрерывной случайной величины называется такое возможное значение : ). Определив из таблиц величину , получим . (4) Из (4) определяем величину , на которой основано правило проверки гипотезы : если окажется, что , то гипотеза отвергается (с вероятностью ошибки, приблизительно равной ). Ошибка второго рода этого критерия вычисляется также с использованием нормальной аппроксимации биномиального закона, но при значении параметра : . (5) · если гипотетическая величина близка к нулю или единице (т.е. или ), а число наблюдений, как и в предыдущем случае, составляет хотя бы несколько десятков, то для вычисления вероятностей события вида , где – случайная величина, распределенная по биномиальному закону с параметрами , лучше использовать аппроксимацию по закону Пуассона, т.е. . (6) С помощью таблиц распределения Пуассона с параметром находим из условия . (7) Затем вычисляем вероятность ошибки второго рода . (8) (функция обозначает функцию распределения закона Пуассона с параметром ) Вариант 2. Проверяется простая гипотеза при простой альтернативе , причем . В этом случае критическая константа находится из условия . Схема решения такая же, как в варианте 1 с заменой смысла неравенств на противоположный в формулах (2¢), (2¢¢), (5), (7) и (8). Вариант 3. Проверяется простая гипотеза против сложной альтернативы . В этом случае одинаково неестественными (с точки зрения справедливости гипотезы ) будут большие отклонения от как в одну, так и в другую сторону. Поэтому · при использовании нормальной аппроксимации следует находить константу , заменив при этом на . Тогда гипотеза отвергается, если , где – квантиль уровня стандартного нормального распределения. · При использовании аппроксимации с помощью закона Пуассона нужно вычислить две критические константы: -ную и -ную точки (соответственно и ) распределения Пуассона с параметром . Гипотеза будет приниматься, если , и отвергаться в противном случае. Пример. Пример.
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (949)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |