Вычисление интегралов Стилтьеса
Интеграл справа существует. Существование Стилтьеса было уже доказано в п.3 (III). Остается лишь установить равенство (11). Предположим, что - положительная функция (для упрощения). Составим сумму Стилтьеса Так как, с другой стороны, можно написать то будем иметь Очевидно, для будет где - это колебание функции в промежутке . Отсюда выкает оценка написанной выше разности: Т.к. в п.3 (III) мы доказали, что при стремится к 0, следовательно
что и доказывает формулу (11). При прежних предложениях относительно функции допустим, что функция непрерывна во всем промежутке и имеем, исключая разве лишь конечное число точек, производную , которая в абсолютно интегрируема. Тогда
Если функция оказывается разрывной, то начнем с рассмотрения «стандартной» разрывной функции , определяемой равенствами Она имеет разрыв первого рода - скачок - в точке x=0 справа, причем величина скачка равна 1; в точке x=0 слева и в остальных точках функции непрерывна. Функция будет иметь такой же разрыв в точке x=c справа; наоборот, будет иметь подобный разрыв в точке x=c слева, причем величина скачка будет равна -1. Предположим, что функция непрерывна в точке x=c, и вычислим интеграл где при (c=b этот интеграл равен нулю). Составим сумму Стилтьеса:
Пусть функция в промежутке непрерывна, а имеет в этом промежутке, исключая разве лишь конечное число точек, производную , которая абсолютно интегрируема в . При этом пусть функция в конечном числе точек
Для упрощения записи введем обозначения для скачков функции справа и слева: очевидно, для Составим вспомогательную функцию: которая как бы вбирает в себя все разрывы функции , так что разность оказывается непрерывной (по доказанному ранее). Для значений , отличных от всех , непрерывность функции не вызывает сомнений, т.к. для этих значений непрерывны обе функции и . Докажем непрерывность в точке справа. Все слагаемые суммы , кроме члена , непрерывны при справа; поэтому достаточно изучить поведение выражения При оно имеет значение ; но таков же и предел при Аналогично проверяется и непрерывность функции в точке слева. Далее, если взять точку (отличную от всех ), в которой функция имеет производную, то вблизи этой точки сохраняет постоянное значение, следовательно, в ней и функция имеет производную, причем Для непрерывности функции по предыдущей теореме, существует интеграл Стилтьеса
Складывая почленно эти два равенства, придем к равенству (15); существование интеграла Стилтьеса от по функции устанавливается попутно свойство в п.4.
Геометрическая иллюстрация интеграла Стилтьеса.
предполагая функцию непрерывной и положительной а -монотонно возрастающей (в строгом смысле); функция может иметь и разрывы (скачки). Система параметрических уравнений выражает некоторую кривую (K) , разрывную, как на рисунке. Если при некотором функция испытывает скачок, так что , то этим предельным значениям отвечает одно и то же предельное значение , равное ). Дополним кривую (K) всем горизонтальным отрезками, соединяющими пары точек С этой целью разложим промежуток на части точками и в соответствии с этим промежуток на оси - на части точками Введя наименьшее и наибольшее значения функции в i-ом промежутке , составим нижнюю и верхнюю суммы Стилтьеса – Дарбу Они представляют площади фигур, составленных из входящих и из выходящих прямоугольников, между которыми содержится рассматриваемая криволинейная фигура. Так как при стремлении в 0 всех обе суммы стремятся к общему пределу (16), то отсюда следует, что фигура, изображенная на рисунке квадрируема и площадью ее служит действительно интеграл (16). Теорема о среднем, оценки.
Доказательство: Переходя к пределу, получим Возьмем , т.к. случай (т.е. ) не представляет интереса: обе части формулы (18) – нули. Тогда
Если в промежутке непрерывна, тогда и есть значение функции в некоторой точке этого промежутка, и формула (18) имеет вид
где Доказательство: так что остается лишь перейти к пределу, чтобы получить (21). Пусть в промежутке функция ограничена, монотонно возрастает. Если существует интеграл Стилтьеса от и , то имеет место формула и почленно вычитая эти равенства, получим
для , то, применяя оценку (21) к каждому интегралу с границами в отдельности, получаем:
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1418)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |