Принцип возрастания энтропии
Наиболее вероятным развитием системы является такое, при котором полная производная энтропии больше нуля: (*) Этот принцип сформулировал Клаузиус. Имея этот принцип, можем получить соответствующее распределение. Условие (*) означает, что если система выведена из состояния равновесия, то она движется к равновесию по этому закону. Тогда в состоянии равновесия энтропия системы экстремальна (max) Так как условие имеется условие нормировки, то имеем условный экстремум, а если бы не было условия нормировки, то был бы абсолютный экстремум.
§18*. Статистическая сумма и её свойства
Мы определили каноническое распределение: , и - это сумма по состояниям, а не по энергетическим уровням. Энтропия: Тогда, учитывая язык термодинамики , получаем: Введём свободную энергию Гельмгольца: Тогда (10) Получаем, что определяется через : Тогда можем записать: Из (10) получаем: Мы будем часто использовать это равенство (здесь в энергетических единицах). Используем определение для нахождения . Запишем определение среднего: Эту сумму можно найти, используя дифференцирование по параметру : Но ведь , тогда: Используем равенство (10): Тогда: А в духе термодинамики , тогда: Мы получили связь между энергией и свободной энергией Гельмгольца . Мы получили связь между энергией и статистической суммой, где , а Запишем определение : Найдём . По определению: Подставим сюда выражение для и получим: , здесь сумма – это сумма по состояниям. Используем дифференцирование по параметру : Тогда наше выражение примет вид: По определению , тогда: Раньше мы получили соотношение Тогда: (11) Покажем, что равенство верно: Выражение (11) можно связать с : Ранее мы получили, что: Тогда: Теперь, если пишем это равенство для термодинамики, то и Величина - это теплоёмкость при постоянном объёме (в термодинамике). Это теплоёмкость всей системы. Тогда: - линейная аппроксимация здесь - безразмерная, а - температура в энергетических единицах. Удельная теплоёмкость – это теплоёмкость в расчёте на единицу массы. -теплоёмкость в расчёте на одну частицу Тогда: Отсюда следует не отрицательность теплоёмкости .
§19*. Функция распределения вероятностей по энергии и распределение Гаусса
Поскольку величина относительного среднеквадратичного отклонения для энергии значительно меньше 1: то функция распределения этой величины(энергии) описывается узкой функцией с максимумом: Ширина максимума очень мала, т.к. . Так как максимум резкий, то часто эту функцию распределения аппроксимируют Гауссовым распределением: Константы и легко находятся. - из условия нормировки: Тогда: Интеграл является табличным. Окончательно для получаем: Найдём константу через : Используем дифференцирование по параметру, где мы обозначим : Но , тогда: Очевидно, что , т.к.: -чётная -как нечётная функция в симметричных пределах Имеем тогда для : (12) Т.к. , то удобно записывать выражение (12) так: (13) где . Зависимости (12) и (13) разные, это надо помнить. Тогда можно написать: Окончательно получаем: Когда мы писали - то получали центрированную случайную величину. Перейдём к нормированным функциям, т.е. перейдём от . Обозначим , тогда от функции переходят к : (14) здесь для случайной величины : и Выражение (14) – это функция Гаусса, в ней всё удобно считать.
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (834)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |