Частные производные функции трёх переменных
Продолжаем всеми любимую тему математического анализа – производные. В данной статье мы научимся находить частные производные функции трёх переменных: первые производные и вторые производные. Что необходимо знать и уметь для освоения материала? Не поверите, но, во-первых, нужно уметь находить «обычные» производные функции одной переменной – на высоком или хотя бы среднем уровне. Если с ними совсем туго, то начните с урока Производные функций одной переменной. Во-вторых, очень важно прочитать статью Частные производные функции двух переменных, осмыслить и прорешать если не все, то бОльшую часть примеров. Если это уже сделано, то пойдём уверенной походкой, будет интересно, даже удовольствие получите! Методы и принципы нахождения частных производных функции трёх переменных на самом деле очень похожи на частные производные функции двух переменных. Функция двух переменных, напоминаю, имеет вид z = f(x; y), где «икс» и «игрек» – независимые переменные. Геометрически функция двух переменных представляет собой некоторую поверхность в нашем трёхмерном пространстве. Функция трёх переменных имеет вид u = f(x; y; z), при этом переменные x; y; z называются независимыми переменными или аргументами, а переменная u называется зависимой переменной или функцией. Например: – это функция трёх переменных.
А теперь немного о фантастических фильмах и инопланетянах. Часто можно услышать о четырехмерном, пятимерном, десятимерном и т.д. пространствах. Чушь это или нет?
Ведь функция трёх переменных подразумевает тот факт, что все дела происходят в четырехмерном пространстве (действительно, переменных же четыре). График функции трёх переменных представляет собой так называемую гиперповерхность.
Представить её невозможно, поскольку мы живём в трехмерном пространстве (длина / ширина / высота). Чтобы вам со мной не было скучно, предлагаю викторину. Я задам несколько вопросов, а желающие могут попробовать на них ответить: – Существует ли в мире четвертое, пятое и т.д. измерения в смысле обывательского понимания пространства (длина / ширина / высота)? – Можно ли построить четырехмерное, пятимерное и т.д. пространство в широком понимании этого слова? То есть, привести пример такого пространства в нашей жизни. – Возможно ли путешествие в прошлое? – Возможно ли путешествие в будущее? – Существуют ли инопланетяне? На любой вопрос можно выбрать один из четырёх ответов: Да / Нет (наукой это запрещено) / Наукой это не запрещено / Не знаю Кто правильно ответит на все вопросы, тот, скорее всего, обладает некоторой вещью ☺.
Ответы на вопросы я постепенно буду выдавать по ходу урока, не пропускайте примеры! Собственно, полетели. И сразу хорошая новость: для функции трёх переменных справедливы правила дифференцирования и таблица производных. Именно поэтому вам необходимо хорошо управляться с «обычными» производными функций одной переменной. Отличий совсем немного!
Пример 1 Найти частные производные первого порядка функции трёх переменных Решение:Нетрудно догадаться, чтодля функции трёх переменных существуют три частных производных первого порядка, которые обозначаются следующим образом: или – частная производная по «икс»; или – частная производная по «игрек»; или – частная производная по «зет». В ходу больше обозначение со штрихом, но составители сборников и методичек в условиях задач очень любят использовать как раз громоздкие обозначения – так что не теряйтесь! Возможно, не все знают, как правильно читать вслух эти «страшные дроби с круглыми дэ»? Пример: следует читать следующим образом: «частная производная дэ у по дэ икс». Начнём с производной « у по икс»: . Когда мы находим частную производную по , то переменные и считаются константами (постоянными числами).А производная любой константы, как известно, равна нулю: Сразу обратите внимание на подстрочный индекс – никто вам не запрещает помечать, что являются константами. Так даже удобнее, начинающим рекомендую использовать именно такую запись, меньше риск запутаться. (1) Используем свойства линейности производной, в частности, выносим все константы за знак производной. Обратите внимание, что во втором слагаемом константу выносить не нужно: так как «игрек» является константой, то – тоже константа. В слагаемом за знак производной вынесена «обычная» константа 8 и константа «зет». (2) Находим простейшие производные, не забывая при этом, что – константы. Далее причесываем ответ. Частная производная . Когда мы находим частную производную «у по игрек», то переменные и считаются константами: (1) Используем свойства линейности. И снова заметьте, что слагаемые , являются константами, а значит, за знак производной выносить ничего не нужно. (2) Находим производные, не забывая, что константы. Далее упрощаем ответ. И, наконец, частная производная . Когда мы находим частную производную по «у по зет», то переменные и считаются константами: Общее правило очевидно и незатейливо: «Когда мы находим частную производнуюпо какой-либо независимой переменной, то две другиенезависимые переменные считаются константами». При оформлении данных задач следует быть предельно внимательным, в частности, нельзя терять подстрочные индексы(которые указывают, по какой переменной проводится дифференцирование). Потеря индекса будет ГРУБЫМ НЕДОЧЁТОМ.
Пример 2 Найти частные производные первого порядка функции трёх переменных Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.
Рассмотренные два примера достаточно просты и, решив несколько подобных задачек, даже чайник приноровится расправляться с ними устно.
Для разгрузки вернемся к первому вопросу викторины: Существует ли в мире четвертое, пятое и т.д. измерения в смысле обывательского понимания пространства (длина / ширина / высота)? Верный ответ: «Наукой это не запрещено». Вся фундаментальная математическая аксиоматика, теоремы, математический аппарат прекрасно и непротиворечиво работают в пространстве любой размерности. Не исключено, что где-нибудь во Вселенной существуют неподвластные нашему разуму гиперповерхности, например, четырёхмерная гиперповерхность, которая задается функцией трех переменных . А может быть, гиперповерхности рядом с нами или даже мы находимся прямо в них, просто наше зрение, другие органы чувств и сознание способны на восприятие и осмысление только трёх измерений.
Вернемся к примерам. Помимо простейших Примеров 1-2 на практике встречаются задания, которые можно назвать небольшой головоломкой. Навёрстываем упущенное.
Пример 3 Найти частные производные первого порядка функции трёх переменных и составить полный дифференциал первого порядка . Решение:вроде бы тут «всё просто», но первое впечатление обманчиво. При нахождении частных производных многие будут гадать на кофейной гуще и ошибаться. Разберём пример последовательно, чётко и понятно. Начнём с частной производной по «икс». Когда мы находим частную производную по «икс», то переменные y, z считаются константами. Следовательно, показатель нашей функции yz – тоже константа. Для чайников рекомендую следующий приём решения: на черновике поменяйте константу yz на конкретное положительное целое число, например, на «пятерку». В результате получится функция одной переменной: ; или ещё можно записать так: . Это степенная функция со сложным основанием (синусом). По правилу дифференцирования сложной функции: Теперь вспоминаем, что , таким образом: . На чистовике, конечно, решение следует оформить так: Находим частную производную по «игрек», тогда x, z считаются константами. Если «икс» константа, то – тоже константа. На черновике проделываем тот же трюк: заменим, например, на 3, «зет» – заменим той же «пятёркой». В результате снова получается функция одной переменной: . Это показательная функция со сложным показателем. По правилу дифференцирования сложной функции: . Теперь вспоминаем нашу замену: . Таким образом: На чистовике, понятно, оформление должно выглядеть, благообразно: И зеркальный случай с частной производной по «зет» (x, y – константы): При определенном опыте проведенный анализ можно проводить мысленно. Выполняем вторую часть задания – составим дифференциал первого порядка. Это очень просто, по аналогии с функцией двух переменных, дифференциал первого порядка записывается по формуле: В данном случае:
Пример 4 Найти частные производные первого порядка для функции трёх переменных и составить полный дифференциал первого порядка. Полное решение и ответ в конце урока. Если возникнут затруднения, используйте рассмотренный «чайниковский» алгоритм, он гарантированно должен помочь. И ещё полезный совет – не спешите. Такие примеры быстро не решаю даже я.
Отвлекаемся и разбираем второй вопрос викторины: «Можно ли построить четырехмерное, пятимерное и т.д. пространство в широком понимании этого слова?». То есть, привести пример такого пространства в нашей жизни. Верный ответ: Да. Причём, очень легко. Например, добавляем к (длине / ширине / высоте) четвёртое измерение – время. К рассмотренному четырехмерному пространству легко добавить пятое измерение, например: атмосферное давление. И так далее, и так далее, и так далее, сколько зададите измерений в своей модели – столько и будет. В широком смысле слова мы живём в многомерном пространстве. Разберём еще пару типовых задач:
Пример 5 Найти частные производные первого порядка в точке M(2, 1, 0) для функции: . Решение:Задание в такой формулировке часто встречается на практике и предполагает выполнение следующих двух действий: – нужно найти частные производные первого порядка; – нужно вычислить значения частных производных 1-го порядка в точке M(2, 1, 0). Решаем: (1) Перед нами сложная функция, и на первом шаге следует взять производную от арктангенса. При этом мы, по сути, невозмутимо используем табличную формулу производной арктангенса . По правилу дифференцирования сложной функциирезультат необходимо домножить на производную внутренней функции (вложения): . (2) Используем свойства линейности. (3) И берём оставшиеся производные, не забывая, что y, z – константы. По условию задания необходимо найти значение найденной частной производной в точке M(2, 1, 0). Подставим координаты точки в найденную производную: . Преимуществом данного задания является тот факт, что другие частные производные находятся по очень похожей схеме: Как видите, шаблон решения практически такой же. Вычислим значение найденной частной производной в точке M(2, 1, 0): . И, наконец, производная по «зет»: . Готово. Решение можно было оформить и по другому: сначала найти все три частные производные, а потом вычислить их значения в точке M. Но, мне кажется, приведенный способ удобнее – только нашли частную производную, и сразу, не отходя от кассы, вычислили её значение в точке. Интересно отметить, что геометрически точка – вполне реальная точка нашего трехмерного пространства. Значения же функции u(M) и производных – уже в четвертом измерении, и где оно геометрически находится, никто не знает. Как говорится, по Вселенной никто с рулеткой не ползал, не проверял.
Коль скоро снова философская тема пошла, рассмотрим третий вопрос: Возможно ли путешествие в прошлое? Верный ответ: Нет. Путешествие в прошлое противоречит второму закону термодинамики о необратимости физических процессов (энтропии). Так что не ныряйте, пожалуйста, в бассейн без воды, событие можно открутить назад только в видеозаписи ☻. Народная мудрость не зря придумала противоположный житейский закон: «Семь раз отмерь, один раз отрежь». Грустная штука, но время однонаправлено и необратимо, никто из нас завтра не помолодеет. А различные фантастические фильмы вроде «Терминатора» с научной точки зрения – полная чушь. Абсурд и с точки зрения философии – когда Следствие, вернувшись в прошлое, может уничтожить собственную же Причину.
Пример 6 Найти частные производные первого порядка в точке M(1, -1, 0) для функции: .
Пример 7 Найти частные производные первого порядка в точке M(1, 1, 1) для функции: .
Это два несложных примера для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока. Но вы не расстраивайтесь из-за второго закона термодинамики, сейчас я всех приободрю более сложными примерами:
Пример 8 Найти частные производные первого порядка функции трёх переменных . Решение: Найдем частные производные первого порядка: (1) Начиная находить производную, следует придерживаться того же подхода, что и для функции одной переменной. Используем свойства линейности, в данном случае выносим за знак производной константы . (2) Под знаком производной у нас находится произведение двух функций, каждая из которых зависитот нашей «живой» переменной «икс». Поэтому необходимо использовать правило дифференцирования произведения . (3) С производной сложностей никаких, а вот производная является производной сложной функции: сначала необходимо найти, по сути, табличный логарифм и домножить его на производную от вложения. (4) Думаю, все уже освоились с простейшими примерами вроде . Тут у нас «живой» только , производная которого 2x. Практически зеркален случай с производной по «игрек», его я запишу короче и без комментариев: Интереснее с производной по «зет», хотя, всё почти что то же самое: (1) Выносим константы за знак производной. (2) Здесь опять произведение двух функций, каждая из которых зависитот «живой» переменной «зет». В принципе, можно использовать формулу производной частного, но проще пойти другим путём – найти производную от произведения. (3) Производная – это табличная производная. Во втором слагаемом – уже знакомая производная сложной функции. Готово.
Пример 9 Найти частные производные первого порядка функции трёх переменных . Это пример для самостоятельного решения. Подумайте, как рациональнее находить ту или иную частную производную. Полное решение и ответ в конце урока.
Перед тем как перейти к заключительным примерам урока и рассмотреть частные производные второго порядкафункции трёх переменных, еще раз взбодрю всех четвертым вопросом викторины:
Возможно ли путешествие в будущее? Верный ответ: Наукой это не запрещено. Парадоксально, но не существует математического, физического, химического или другого естественнонаучного закона, который бы запрещал путешествие в будущее! Кажется чушью? Но практически у каждого в жизни бывало предчувствие (причём, не подкрепленное никакими логическими доводами), что произойдет то или иное событие. И оно происходило! Откуда пришла информация? Из будущего? Таким образом, фантастические фильмы о путешествии в будущее, да и, к слову, предсказания всевозможных гадалок, экстрасенсов нельзя назвать таким уж бредом. По крайне мере, наука этого не опровергла. Всё возможно! Так, когда я учился в школе, то компакт диски и плоские мониторы из фильмов казались невероятной фантастикой. Известная комедия «Иван Васильевич меняет профессию» – выдумка наполовину (как максимум). Никакой научный закон не запрещал Ивану Грозному оказаться в будущем, но невозможно, чтобы два перца оказались в прошлом и исполняли обязанности царя.
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1867)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |