Переход от общих уравнений прямой к каноническим или параметрическим уравнениям

Для того, чтобы от общих уравнений перейти к каноническим или параметрическим уравнениям прямой, требуется найти направляющий вектор этой прямой и координаты любой точки , принадлежащей ей. Направляющий вектор прямой ортогонален нормалям и к обеим плоскостям, следовательно, коллинеарен их векторному произведению . Поэтому в качестве   направляющего вектора можно выбрать или любой вектор с пропорциональными координатами. Чтобы найти точку, лежащую на данной прямой, можно задать одну ее координату произвольно, а две остальные   найти из уравнений , выбрав их так, чтобы определитель из их коэффициентов не равнялся нулю.

Пример. Составить канонические и параметрические уравнения прямой .

Решение. По условию , тогда . Следовательно, направляющим вектором прямой можно считать вектор .

Будем искать точку на прямой с координатой . Для координат и получим систему уравнений , откуда , . Теперь можно составить канонические уравнения прямой:

.

Параметрические уравнения той же прямой имеют вид:

или .

Пример. Привести общие уравнения прямой к каноническому виду.

Решение. Найдём точку, лежащую на прямой. Для этого выберем произвольно одну из координат, например, и решив систему уравнений найдем .

Нормальные векторы плоскостей, определяющих прямую, имеют координаты , . Поэтому направляющий вектор прямой будет . Следовательно, .

Замечание. Если какая-либо из координат направляющего вектора равна 0, то предполагается, что для любой точки прямой числитель соответствующей дроби в канонических уравнениях тоже равен 0.

Пусть прямая перпендикулярна одной из координатных осей, например оси . Тогда направляющий вектор прямой перпендикулярен

, следовательно, и параметрические уравнения прямой примут вид . Исключая из уравнений параметр t, получим уравнения прямой в виде .

Однако, и в этом случае, формально записывают канонические уравнения прямой в виде .

Таким образом, если в знаменателе одной из дробей стоит нуль, то это означает, что прямая перпендикулярна соответствующей координатной оси.

Аналогично, каноническим уравнениям соответствует прямая перпендикулярная осям и или параллельная оси .

Пример. Записать уравнение прямой в параметрическом виде.

Решение. Обозначим , отсюда

Пример. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору .

Решение. Канонические уравнения: или .

Параметрические уравнения: или .

Угол между прямыми.

Определение. Углом между прямыми в пространстве называют любой из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведёнными через произвольную точку параллельно данным.

Угол между прямыми в пространстве равен углу между их направляющими векторами . Поэтому, если две прямые заданы каноническими уравнениями вида и то косинус угла между ними можно найти по формуле:

).

Пример. Найти угол между прямыми и .

Решение. По условию , тогда

отсюда

, , .