Качественная теория решения нелинейных диффе-
ренциальных уравнений (в приложении к нелинейным систе- мам)
В отличие от численного метода (Метод Эйлера), который дает решение в 1й точке ( не дает траекторию (нужно де- лать 1000 точек, чтобы получить траекторию)). Пуан Каре в 19 веке дал качественную теорию решения диф- ференциальных уравнений, она используется для решения не- линейных дифференциальных уравнений в виде некоторого фа- зового портрета (некоторый графический материал, по ко- торому можно анализировать траекторию движения динамичес- кой системы, т.е. фактически получить решение (1-го из решений).
На примере X и Y : y (1) , где f(x,y) - некоторая нели- a dy нейная функция - нелинейная функция
x Найти решение означает - найти y=j(x) (2), которая удовлетворяет (1). Пуан Каре развил метод , как найти (2) прямо на плоскости.
Метод изоклин
Если f(x,y)=const, то , а , на кривой f(x,y)=const все производные имеют одно и тоже значение, такая кривая называется изоклиной. (tga=const, a=const) Можно вычислить множество изоклин, это множество дает по- ле направлений. Касательная к этому полю и есть решение, т.о. это есть траектория, которую мы разыскиваем.
y Пример1: ; y - решение диф. - изоклина уравнения
x x
Пример 2: , Величина радиуса - значение производной, любая окружность - изоклина. Решение (касательная к полю направления) - -есть касательная к векторам, расположенная на изоклинах.
- изоклина решение
- Уравнение Вандер Поля
x(t) - напряжение на контуре автогенератора, фазовая пе- ременная = const - параметр
- вторая фазовая переменная Учитывая это имеем : (1) ’ пусть = 0
(1) ’’
- изоклина
- фазовый портрет - Решение дифференциаль- ного уравнения Вандер Поля - окружность (при = 0)
Если на входы X и Y осцилографа подать две синусоиды, то получим окружность (фигура Лиссажу), следовательно окруж- ность дает решения синусоидального колебания. x Y
t t
Пусть ¹ 0 (см. ур-е (1)’) фазовый портрет будет 2х ти- пов : Y X(t)
X t
Выводы : 1) Динамические системы радиоавтоматики описыва- ются дифференциальными уравнениями 1, 2 и бо- лее высокого порядка ( например: колебатель- ная система(солнечная система, автогенератор, полет космического аппарата в поле притяже- ния земли) описывается диф. уравнением 2-го порядка и выше. 2) Линейные динамические системы описываются ли- нейными диф. уравнениями. Линейная динамичес- кая система составленная из R,L,C - цепочек и активных элементов (транзисторов и т.д.). Любая линейная система путем преобразования Лапласа может быть представлена в виде пере- даточной функции.(Диф. уравнение преобразует- ся по Лапласу). Передаточная функция записы- вается для удобства в комплексном виде, на мнимой оси p=jw можно найти АЧХ и ФЧХ линей- ной системы. Передаточная функция дает инфор- мацию об устойчивости системы. 3) Нелинейные динамические системы описываются нелинейными диф. уравнениями, в этих системах обязательно есть нелинейность вида ( и др.), общих решений и анализа через переда- точную функцию как правило не существует, по- этому есть два метода : а) численный метод (Эйлера и др.) (восстановле- ние по точкам) б) решение диф. уравнений методом фазового порт- рета (качественная теория). (Это наглядный путь выяснения поведения нелинейной системы)
Стохастические системы
Стохастика - случайность.
Определение: Динамическая система называется стохастичес- кой , если она описывается дифференциальным или разностным уравнением, в правую часть которого входит случайный процесс.
Такую систему можно представить в виде линейного или не- линейного четырехполюсника, на вход которого подается шум Стохастическая x(t) система X(t)
x(t)- шум X(t)- выходной процесс
Составление модели любой динамической системы должно в реальных условиях(например движение самолета или раке- ты) составляться с помощью предварительных экспериментов над движением реальной системы. (Как правило это диффе- ренциальные или разностные уравнения) и в эти уравнения вставляется некоторый шум, который является случайным процессом. Для дальнейшего составления модели используется иден- тификация модели на основании эксперимента или экспери- ментальных данных.
Идентификацией называется оценка коэффициентов разност- ного уравнения и оценка параметров шума: дисперсии, мат. ожидания, ковариации и др.
Идентификация служит для того, чтобы реальный процесс и модель были близки.Получив модель мы имеем возможность, используя эту модель, получить близкую к реальной карти- не ситуацию движения системы и создать управление ситуа- цией по нашей модели.
Вывод: Модель нужна, чтобы на ЭВМ научиться проектировать управляемые динамические системы для любых такти- ческих ситуаций, известных из практики.
Правильно созданная модель - это максимум успеха в проек- тировании эффективной систе- мы. После создания и отработки модели стохастической ди- намической системы создается аппаратура по этой модели, которая проверяется на динамическом стенде.
Динамический стенд - 2й этап моделирования реальной ситу- ации уже с аппаратурой. 3й этап состоит в проверке аппаратуры на полигоне.( На борту транспортного или военного средства).
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (225)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |