Схема решения уравнения методом хорд и касательных

1. Вычислить значения функции  и .

2. Проверить выполнение условия . Если условие не выполняется, то неправильно выбран отрезок [a; b].

3. Найти производные .

4. Проверить постоянство знака производных на отрезке [a; b]. Если нет постоянства знака, то неверно выбран отрезок [a; b].

5. Для метода касательных выбирается за х₀ тот из концов отрезка [a; b], в котором выполняется условие , т.е.  и  одного знака.

6. Приближения корней находятся:

а) по методу касательных: ,

б) по методу хорд: .

7. Вычисляется первое приближение корня: .

8. Проверяется выполнение условия: , где - заданная точность.

Если условие не выполняется, то нужно продолжить применение метода по схеме 1 – 8.

В этом случае отрезок изоляции корня сужается и имеет вид . Приближённые значения корня находятся по формулам:

       и       .

Вычисления продолжаются до тех пор, пока не будет найдено такое значение , при котором  и  совпадут с точностью .

В простейших случаях используют метод простых итераций, вычисляя последовательно значения функции у = f(x), изменяя значения х, чтобы у→ 0 и его модификацию – "метод вилки", изменяя величину х так, чтобы если f(x₁) > 0, то f(x₂) < 0 и сужая интервал [х₁; х₂].

Интерполяция функций.

Интерполяция, интерполирование – в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.

В практике приходится оперировать наборами значений, полученных экспериментальным путём или методом случайной выборки. Как правило, на основании этих наборов требуется построить функцию, на которую могли бы с высокой точностью попадать другие получаемые значения. Такая задача называется аппроксимацией кривой. Интерполяцией называют такую разновидность аппроксимации, при которой кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки данных.

Существует также близкая к интерполяции задача, которая заключается в аппроксимации какой-либо сложной функции другой, более простой функцией. Если некоторая функция слишком сложна для производительных вычислений, можно попытаться вычислить её значение в нескольких точках, а по ним построить, то есть интерполировать, более простую функцию. Разумеется, использование упрощенной функции не позволяет получить такие же точные результаты, какие давала бы первоначальная функция. Но в некоторых классах задач достигнутый выигрыш в простоте и скорости вычислений может перевесить получаемую погрешность в результатах.

На практике чаще всего применяют интерполяцию многочленами. Это связано прежде всего с тем, что многочлены легко вычислять, легко аналитически находить их производные.

Линейная интерполяция – интерполяция алгебраическим двучленом Р₁(x) = ax + b функции f(x), заданной в двух точках x₀ и x₁ отрезка [a, b].

В случае, если заданы значения в нескольких точках, функция заменяется кусочно-линейной функцией.

Интерполяционная формула Ньютона применяется, если узлы интерполяции равноотстоящие и упорядочены по величине, так что x_{i + 1} − x_i = h = const, то есть x_i = x₀ + ih. Тогда интерполяционный многочлен можно записать в форме Ньютона.

Интерполяционные полиномы в форме Ньютона удобно использовать, если точка интерполирования находится вблизи начала (прямая формула Ньютона) или конца таблицы (обратная формула Ньютона).