Определения и основные примеры подгрупповых функторов
Пусть некоторый класс групп. Составим с каждой группой некоторую систему ее подгрупп . Будем говорить, что - подгрупповой -функтор или подгрупповой функтор на , если выполняются следующие условия: 1) для всех ; 2) для любого эпиморфизма , где А, и для любых групп и имеет место и Подгрупповой -функтор называется: 1) замкнутым, если для любых двух групп и имеет место ; 2) тривиальным, если для любой группы имеет место ; 3) единичным, если для любой группы система состоит из всех подгрупп группы G. Тривиальный подгрупповой -функтор обозначается символом , а единичный - символом . Если и - подгрупповой -функтор, то - такой подгрупповой -функтор, что для всех . Такой функтор называется ограничением функтора на классе . Рассмотрим несколько примеров подгрупповых функторов. В случае, когда - класс всех групп, подгрупповые -функторы мы будем называть просто подгрупповыми функторами. Пример 1. Пусть для любой группы , Понятно, что - замкнутый подгрупповой функтор. Для обозначения такого подгруппового функтора мы применяем запись . Пример 2. Пусть - совокупность всех нормальных подгрупп группы для каждой группы . Такой функтор в общем случае замкнутым не является. Пример 3. Пусть - произвольное натуральное число. Для каждой группы через обозначим совокупность всех таких подгрупп , для которых . Понятно, что - подгрупповой -функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись . Пример 4. Пусть - произвольное кардинальное число. И пусть для любой группы . Понятно, что такой подгрупповой функтор в общем случае не является замкнутым. Для обозначения такого функтора мы применяем запись . Если - подгруппа группы , то символом обозначается мощность множества . Пример 5. Пусть - простое число и пусть для любой группы система в нет такой подгруппы , что , - натуральное число, взаимнопростое с . Покажем, что - подгрупповой функтор. Действительно, пусть и . Предположим, что где - натуральное число. Тогда - натуральное число и Следовательно, , и поэтому . Это означает, что . Аналогично, мы видим, что если то . Таким образом, - подгрупповой функтор. Для обозначения такого подгруппового функтора мы используем запись . Заметим, что если - некоторый класс конечных групп и , то - замкнутый подгрупповой функтор. Пример 6. Пусть . И пусть для каждой группы множество совпадает с совокупностью всех тех подгрупп из , индексы которых не делятся на числа из . Понятно, что - замкнутый подгрупповой функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись . Напомним, что подгруппа группы называется абнормальной в , если всегда из следует, что . Пример 7. Пусть для любой группы множество совпадает с совокупностью всех абнормальных подгрупп группы . Легко видеть, что - незамкнутый подгрупповой функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись . Пример 8. Пусть - произвольный класс групп. Подгруппа группы называется - абнормальной в , если выполняется одно из следующих двух условий: 1) ; 2) и для любых двух подгрупп и из , где и - максимальная подгруппа в имеет место . Легко видеть, если группа разрешима, то ее подгруппа абнормальна в тогда и только тогда, когда она -абнормальна в . Сопоставляя каждой группе множество всех ее -абнормальных подгрупп , получаем подгрупповой функтор, для которого мы будем применять запись . Пример 9. Подгруппа группы называется -субнормальной в , если выполняется одно из следующих двух условий: 1) ; 2) и в имеется такая цепь подгрупп где - максимальная в подгруппа, содержащая , . Пусть - некоторая непустая формация и для каждой группы система состоит из всех -субнормальных в подгрупп. Покажем, что - подгрупповой функтор. Пусть -субнормальна в . И пусть и - такие члены цепи (1), что , где - нормальная в подгруппа. Покажем, что - максимальная подгруппа в . Допустим, что для некоторой подгруппы . Тогда поскольку максимальна в , то либо , либо . Пусть имеет место первое. Тогда поскольку , то . Противоречие. Значит, , т.е. . Поэтому . Противоречие. Итак, ряд таков, что в нём для любого имеет место одно из двух условий: 1) ; 2) - максимальная подгруппа в . He теряя общности, мы можем считать, что все члены ряда (2) различны. Заметим, что поскольку то Итак, - -субнормальная подгруппа в . Понятно также, что если - -субнормальная подгруппа в , то - -субнормальная подгруппа в . Таким образом, - подгрупповой функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись . Класс групп называется гомоморфом, если он содержит все гомоморфные образы всех своих групп. Гомоморф конечных групп называется формацией, если каждая конечная группа обладает наименьшей по включению нормальной подгруппой (обозначаемой символом ) со свойством . Лемма 3.1 Пусть - формация, . Тогда Доказательство. Пусть . Тогда Отсюда следует, что . С другой стороны, поскольку - гомоморф, то Откуда получаем . Из и следует равенство . Лемма доказана. Пример 10. Пусть - некоторый класс конечных групп и - формация. Пусть для любой группы Покажем, что - подгрупповой - функтор. Действительно, пусть и . Тогда , и поэтому, согласно лемме 3.1, мы имеем Следовательно, . Аналогично, если , то . Следовательно, - подгрупповой -функтор. Для обозначения такого функтора мы применяем запись . Пример 11. Для каждой группы через обозначим совокупность всех абнормальных максимальных подгрупп из . Понятно, что - подгрупповой функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись .
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (196)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |