Простейшие тригонометрические уравнения
Уравнением называется равенство, содержащее переменную. А уравнения, в которых неизвестные содержатся под знаком тригонометрических функций, называются тригонометрическими уравнениями. Решением уравнения с неизвестным х называют число хо, при подстановке которого в уравнение вместо х получается верное числовое равенство. Отличительная особенность тригонометрических уравнений – бесконечное множество корней. Эта особенность связана с характерным свойством тригонометрических функций – периодичностью. Решить уравнение – это значит найти все его решения или показать, что их нет. Решение любого уравнения: сводится к стандартному виду. Путем преобразований линейные уравнения сводят к виду ах = в, квадратные – к виду ax2 + вx + c =0. Необходимость классификации уравнений вызывается невозможностью найти общий метод их решения. Известно, что целые алгебраические уравнения со времен Декарта (1596-1650) классифицируются по степени уравнения. Чем выше степень таких уравнений, тем сложнее взаимная связь неизвестного с коэффициентами уравнения и тем труднее выразить это неизвестное через коэффициенты. В тригонометрии предпринимались попытки создавать свою специфическую классификацию. Пример такой классификации, содержащей восемь типов тригонометрических уравнений, приводится в пособии И.К. Андронова, А.К. Окунева «Курс тригонометрии». Классифицировать тригонометрические уравнения по степени не имеет большого смысла, так как тригонометрические уравнения допускают повышение и понижение степени за счет использования формул половинного и двойного аргумента. Очевидно, что классифицировать тригонометрические уравнения имеет смысл с опорой на методы их решения. Здесь я попытаюсь показать, с какими методами решения тригонометрических уравнений мы сталкиваемся в учебнике для 10-11 классов общеобразовательных учреждений «Алгебра и начала анализа» под редакцией А. Н. Колмогорова (2001 г.). Решение тригонометрических уравнений выполняется в большинстве случаев (с помощью различных преобразований) путём сведения их к простейшим тригонометрическим уравнениям. Поэтому и работу с тригонометрическими уравнениями естественно начинать с простейших тригонометрических уравнений. Уравнение f ( x ) = а, где а – данное число, а f ( x ) – одна из основных тригонометрических функций, называют простейшим тригонометрическим уравнением. В школьном курсе рассматриваются следующие простейшие тригонометрические уравнения: sin t = a , cos t = a , tg t = a , ctg t = a . Рассмотрим, при каких значениях а простейшие тригонометрические уравнения разрешимы (имеют решения) и как правильно находить все решения таких уравнений. А) Уравнение sin t = a . Так как множество значений функции у = sinx – отрезок [– 1; 1], то уравнение sin t = a разрешимо только в том случае, когда |а| ≤ 1. И тогда решение данного уравнения находится по формуле: t = (– 1) n arcsin a + π n , где n Î Z. Соответственно, если |а| > 1, то уравнение не имеет действительных корней. Это обстоятельство следует хорошо помнить, т. к. забывая об этом, часто допускают ошибки. Например, при решении уравнения sin t = часто, не обращая внимания на то, что > 1, пишут ответ: t = (– 1) n arcsin + π n , где n Î Z , который не имеет никакого смысла, т. к. функция arcsin a не определена в точке а = (эта точка не принадлежит области определения функции arcsin a). Если а = – 1; 0; 1, то рассматривают частные случаи решения данного уравнения. При а = – 1 х = а = 0 х = π n , где n Î Z ; а = 1 х = Б) Уравнение cos t = a . Это уравнение имеет решения тогда и только тогда, когда |а| ≤ 1. Если это условие выполнено, то все решения уравнения cos t = a записываются в виде: t = ± arccos а + 2π n , где n Î Z . Соответственно, если |а| > 1, то уравнение не имеет действительных корней. Если а = – 1; 0; 1, то также рассматривают частные случаи решения данного уравнения. При а = – 1 х = а = 0 х = а = 1 х = В) Уравнение tg t = a . Данное уравнение имеет решения при любом значении а Î (– µ ; µ ). Все решения уравнения задаются формулой t = arctg а + π n , где n Î Z . Частные случаи здесь не рассматривают. Г) Уравнение с tg t = a . Данное уравнение имеет решения при любом значении а Î (– µ ; µ ). Все решения уравнения задаются формулой t = ar с ctg а + π n , где n Î Z . Частные случаи здесь также не рассматривают.
Ряд уравнений путём элементарных преобразований: перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, деление обеих частей уравнения на одно и тоже число, отличное от нуля, также очень легко сводятся к простейшим. При решении простейших тригонометрических уравнений вида А sin (вх + с) = d , А cos (вх + с) = d , А tg (вх + с) = d , А ctg (вх + с) = d следует обратить внимание на то, что они приводятся к виду sin (вх + с) = а, cos (вх + с) = а, tg (вх + с) = а, ctg (вх + с) = а. Сведение тригонометрических уравнений к простейшим тригонометрическим уравнениям выполняется различными способами. Первоначально надо рассмотреть тригонометрические уравнения, в которых под знаком тригонометрических функций стоит более сложное выражение, зависящее от х. для решения таких уравнений можно обозначить выражение, стоящее под знаком тригонометрической функции, одной буквой; решить простейшее тригонометрическое уравнение, а потом найти х, решая алгебраическое уравнение. К таким уравнениям относятся уравнения:
Покажу на примерах, как решаются такие уравнения с применением выше указанных формул. № 136(б). с os x = – , х = ± arccos (– ) + 2π n , n Î Z , х = ± Ответ: х = ± № 139(б). 2 sin x + = 0, 2 sin x = – , sin x = – , х = (– 1)narcsin (– ) + π n, n Î Z, х = (– 1) n + 1 + π n , n Î Z . Ответ: х = (– 1) n + 1 + π n , n Î Z . № 144(г). ctg (– ) = 1, – ctg = 1, ctg = – 1, = ar с ctg (– 1) + π n , n Î Z , = + π n , n Î Z , х = + 2π n , n Î Z . Ответ: х = + 2π n , n Î Z . № 145(в). tg ( ) = 3, tg ( ) = , = arctg + π n, n Î Z, = + π n , n Î Z , = π n , n Î Z , х = 3π n , n Î Z . Ответ: х = 3π n , n Î Z .
Проблема решения тригонометрических уравнений состоит не в большом количестве разнообразных формул, а в выборе направления, по которому необходимо двигаться для решения уравнения. Первый шаг на пути решения тригонометрического уравнения – это попытка отнести его к какому-либо типу, и если это удаётся, то применить характерный для данного типа уравнения приём. Рассмотрим основные типы уравнений, предлагаемых в школьном учебнике под редакцией А. Н. Колмогорова. В учебном пособии приёмы решения тригонометрических уравнений не конкретизируются, а рассматриваются на нескольких конкретных примерах. Для решения тригонометрических уравнений чаще всего используется два метода: введения новой переменной и разложения на множители. Одним из самых общих методов решения тригонометрических уравнений является сведение тригонометрического уравнения к алгебраическому относительно одной тригонометрической функции с использованием тригонометрических формул: cos 2 х = 1 – sin 2 х, sin 2 х = 1 – cos 2 х, Уравнения вида sin ах ± sin вх = 0, cos ах ± cos вх = 0 решаются заменой суммы (разности) синусов и косинусов произведением. Часто, особенно при решении квадратного уравнения относительно одной из тригонометрических функций, используется метод введения новой переменной. Интерес вызывают и уравнения, сводимые к однородным: а × sin х + в × с os x = 0, а × sin 2 х + в × sin х × с os x + с × с os 2 x = 0
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (260)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |