Тема: Формулы сложения.

Формулы сложения.

Пример 1. Найди множество значений функции: y=sin7x⋅cos6x+cos7x⋅sin6x−5.

Решение: Для нахождения множества значений данной функции преобразуем выражение sin7x⋅cos6x+cos7x⋅sin6x−5, используя формулу сложения sin(α+β)=sinα⋅cosβ+cosα⋅sinβ.

Тогда данное выражение будет таким:

sin7x⋅cos6x+cos7x⋅sin6x−5=sin(7+6)x−5=sin13x−5.

Множеством значений функции y=sin13x является промежуток [−1;1].

Поэтому сначала вместо sin13x подставим sin13x=−1, а затем sin13x=1.

Получим следующие вычисления: −1−5=−6 и 1−5=−4.

Значит, множеством значений функции y=sin13x−5 является промежуток [−6;−4], а значит, и множеством значений функции y=sin7x⋅cos6x+cos7x⋅sin6x−5 будет промежуток [−6;−4].

Пример 2.

Найди наибольшее и наименьшее значения функции y=4⋅sin7x+3⋅cos7x.

Решение:

Для определения наибольшего и наименьшего значений функции

y=4⋅sin7x+3⋅cos7x выясним, при каких значениях a уравнение

4⋅sin7x+3⋅cos7x=a имеет корни.

Для этого вспомним способ решения уравнения вида b⋅sinx+c⋅cosx=a.

Для его решения надо поделить обе части этого уравнения на выражение  Обозначим = cosα и =sinα.

Такое число α существует, так как )²+( =1 или cos² α+sin² α=1.

После преобразований в левой части получим уравнение следующего вида, которое уже является простейшим тригонометрическим уравнением:

cosα⋅sinx+sinα⋅cosx=  ;sin(x+α)= \

Применяя этот способ к данному уравнению, поступим так же, т. е.

поделим обе части данного уравнения на =5, получим sin7x+ cos7x= .

Так как 0< <1, то можно найти такой угол α в первой четверти 0<α< , что cosα= , тогда sin² α=1−cos² α=1− = .

 Отсюда sinα= .

Данное уравнение примет вид cosα⋅sin7x+sinα⋅cos7x= или sin(α+7x)= .

Это уравнение имеет корни, если −1≤ ≤1.

Решаем это двойное неравенство, умножая все его части на 5.

Получим −5≤a≤5 или −5≤y≤5.

Значит, наименьшее значение функции y=−5,

а наибольшее значение функции y=5.

Домашнее задание: Гл.2, §9, 9.1-9.5, №9.27, стр.258-273

1.Вычислите:

а) sin20°cos10°+cos20°sin10°

b) sin cos +cos sin .

2.Найди множество значений функции: y=sin6x⋅cos5x+cos6x⋅sin5x−7.

3. Найди наибольшее и наименьшее значения функции y=8⋅cos7x−15⋅sin7x.