Многомерные случайные величины и условные законы распределения
Упорядоченный набор Х= (X1, X2, ... , Xn ) случайных величин называется n-мерной СВ. Функцией распределения n-мерной СВ (X1, X2, ... , Xn ) называется функция F(x1, x2, ... , xn), являющаяся вероятностью совместного выполнения n неравенств:
Двумерная функция распределения:
Свойства ФР F(x, y): 1. 0 £ F(x, y) £ 1. 2. Если x1 < x2, то F(x1, y) £ F(x2, y), аналогично и для y1 < y2 . 3. F(x, -¥) = F(-¥, y) = F(-¥,-¥) = 0. 4. F(x, ¥) = F1(x), F(¥, y) = F2(y), где F1(x) и F2(y) - функции распределения СВ Х и Y соответственно. 5. F(¥,¥) = 1. Плотностью вероятности (совместной плотностью) непрерывной двумерной СВ (Х, Y) называется вторая смешанная частная производная ее ФР:
Свойства плотности вероятности двумерной СВ j(x, y): 1. j(x, y) ³ 0. 2. P((x, y) Î D) = . 3. F(x, y) = . 4. . Условным ЗР СВ Х, взятой из двумерной СВ(Х, Y), называется закон распределения СВ Х, полученный при условии, что другая СВ Y приняла определенное значение. Условная плотность вероятности jy(x) двумерной СВ (Х, Y) определяется формулой:
jy(x) = .
Числовые характеристики условного распределения: условное МО а(у)=Му(Х) и условная дисперсия s2(у)=Dy(X). Другие их обозначения: М(Хêу) и D(Хêу). Условное МО СВ Y при Х=х, т.е. Мх(Y), есть функция от х, называемая функцией регрессии (регрессией) Y по Х. Пример. Пусть двумерная СВ (Х, Y) и ее ЗР j(x, y) являются некоторой моделью железной дороги, причем СВ Х - количество порожних вагонов в суточной заявке порта, СВ Y - количество поставленных порожних вагонов за сутки в порт. Тогда регрессия Мх(Y) показывает соотношение между заявкой и поставкой вагонов в среднем (рис. 1.3).
Рис. 1. 3
Свойства условного МО: 1. Если Z = z(X), где z - неслучайная функция от Х, то Mz(Mx(Y)) = =Mz(Y), в частности, М(Мх(Y)) = М(У). 2. Если Z = z(X), то Mz(Z×Y) - Z×Мх(Y). 3. Если СВ Х и Y независимы, то Мх(Y) = М(Y) (на рис. 1.3 это была бы горизонтальная прямая). Для независимых СВ j(x, y) = j1(x)∙j2(y), или jу(x) = j1(x) и jх(y) = j2(y), где j1 и j2 - плотности одномерных СВ Х и Y, jу(x) и jх(y) - плотности условных распределений Х по Y и Y по Х. Зависимость между двумя СВ называется статистической, если каждому значению одной из них соответствует определенное (условное) распределение другой. Ковариацией (корреляционным моментом) Cov(Х, Y) СВ Х и Y называется МО произведения отклонений этих величин от своих МО:
Другие обозначения ковариации: Кху, . Ковариация двух СВ характеризует, во-первых, степень их взаимозависимости, во-вторых, их рассеяние вокруг точки (ах, ау). Для измерения только тесноты связи двух СВ применяют безразмерный коэффициент корреляции r:
Свойства ковариации: 1. Cov(Х, Y) = 0, если Х и Y независимы. 2. Cov(Х, Y) = М(Х, Y) - ах ау. 3. êCov(Х, Y)ê £ sхsу. Свойства коэффициента корреляции r: 1. -1 £ r £ 1. 2. r = 0, если СВ Х и Y независимы. Обратное утверждение неверно. 3. если êr ê = 1, то СВ Х и Y связаны линейной функциональной зависимостью.
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (796)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |