Смешанное произведение в координатной форме
Лекция 2. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ И ЕГО СВОЙСТВА Определение.Три некомпланарных вектора , и , взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму вектору виден совершающимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой.
1) ^ и ^ ; 2) имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах, т. е. , где ; 3) тройка векторов , и правая.
Векторное произведение обозначается или . Из определения векторного произведения непосредственно вытекают следующие соотношения между ортами , и : , , . Свойства векторного произведения 1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т. е. . 2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, т. е. . 3. Два ненулевых вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т. е. . В частности, . 4. Векторное произведение обладает распределительным свойством: . Примем без доказательства. Векторное произведение в координатной форме Пусть заданы два вектора и . Найдем векторное произведение этих векторов, перемножая их как многочлены (согласно свойств векторного произведения): , т. е. Полученную формулу можно записать еще короче: . Пример. СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ Определение.Произведение векторов , и , составленное следующим образом: , называется векторно-скалярным, или смешанным, произведением трех векторов. Смешанное произведение представляет собой некоторое число. Теорема. Смешанное произведение трех векторов равно где V – объем параллелепипеда, построенного на векторах , и . Свойства смешанного произведения 1. Смешанное произведение не меняется при перемене местами знаков векторного и скалярного умножения, т. е. . Действительно, и . Знак в правой части этих равенств берем один и тот же, так как тройки векторов и — одной ориентации. Следовательно, . Это позволяет записывать смешанное произведение векторов в виде без знаков векторного, скалярного умножения. 2. Смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест любых двух векторов-сомножителей, т. е. , , . Действительно, такая перестановка равносильна перестановке сомножителей в векторном произведении, меняющей у произведения знак. Смешанное произведение в координатной форме Пусть заданы векторы , , . Найдем их смешанное произведение, используя выражения в координатах для векторного и скалярного произведений:
. Полученную формулу можно записать короче: . Итак, смешанное произведение векторов равно определителю третьего порядка, составленному из координат перемножаемых векторов.
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1403)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |