Понятие производной и дифференциала
Определение.Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что последнее стремится к нулю:
.
Если этот предел конечный, то функция f(x) называется дифференцируемой в точке xo; при этом она оказывается обязательно и непрерывной в этой точке. Разберем смысл этого понятия. Учитывая смысл понятия предела, можно записать или . Отсюда следует, что является коэффициентом пропорциональности между приращением функции и приращением аргумента , который показывает, как изменяется функция при изменении аргумента на единицу. Механический смысл производной - это мгновенная скорость точки. Геометрический смысл производной - это угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой . Если точка касания имеет координаты , то уравнение касательной записывается в виде
В общем случае, производная - это скорость изменения функции. Нахождение производной называется дифференцированием функции. Производная функции находится с помощью таблицы основных производных (таблица 3.1) и основных правил дифференцирования. Таблица 3.1 – Таблица производных основных элементарных функций
Определение. Дифференциал функции – это главная линейная часть приращения функции
Приближенно дифференциал функции равен приращению функции
Пусть мы нашли для функции y=f(x) ее производную . Производная от этой производной называется производной второго порядка функции f(x), или второй производной, и обозначается . Механический смысл второй производной - это ускорение точки. Аналогично определяется и обозначается производная третьего порядка - . В общем случае определяется производная n-го порядка - . . Правила дифференцирования Пусть функции и имеют производные, тогда справедливы следующие правила.
1. Постоянный множитель можно вынести за знак производной.
2. Производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций: .
3. Производная произведения двух функций находится по формуле: .
4. Производная частного вычисляется по формуле: .
5. Производная сложной функции , где находится по формуле 6. Производная обратной функции , где и находится по формуле
7. Производная функции заданной параметрическими уравнениями находится по формуле .
Пример 3.1. Найти производные функций: а) ; б) . Решение. Используя данные таблицы производных, получим: а) б) Пример 3.2. Найти производные функций: а) б) . Решение. Используя данные таблицы производных и правила производной частного и произведения, получим: б) . Пример 3.3.Найти производную сложной функции . Решение. Обозначим , тогда получим . Воспользуемся правилом производной сложной функции и таблицей производных, получим Пример 3.4. Пользуясь правилом дифференцирования обратной функции, найти производную для функции . Решение.Обратная функция имеет производную . Следовательно, . Пример 3.5. Найти производную функции заданной уравнением . Решение.Продифференцируем уравнение по х, рассматривая при этом у как функцию х. . Выразим из полученного уравнения , получим . Пример 3.6.Найти производную функции заданной системой . Решение.По правилу производной функции заданной параметрическими уравнениями находим .
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1882)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |