Мегаобучалка Главная | О нас | Обратная связь

Предельный переход в неравенствах для последовательностей




Свойства сходящихся последовательностей (ограниченность, арифметические свойства)

Ответ:

Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число хn, то говорят, что задана последовательность

x1, х2, …, хn = {xn}

 

Общий элементпоследовательности является функцией от n.

xn = f(n)

Таким образом последовательность может рассматриваться как функция порядкового номера элемента.

Задать последовательность можно различными способами – главное, чтобы был указан способ получения любого члена последовательности.

 

Пример. {xn} = {(-1)n} или {xn} = -1; 1; -1; 1; …

{xn} = {sinpn/2} или {xn} = 1; 0; 1; 0; …

 

Для последовательностей можно определить следующиеарифметические свойства:

 

1) Умножение последовательности на число m: m{xn} = {mxn}, т.е. mx1, mx2, …

2) Сложение (вычитание) последовательностей: {xn} ± {yn} = {xn ± yn}.

3) Произведение последовательностей: {xn}×{yn} = {xn×yn}.

4) Частное последовательностей: при {yn} ¹ 0.

 

Ограниченные и неограниченные последовательности.

Определение. Последовательность {xn} называется ограниченной, если существует такое число М>0, что для любого n верно неравенство:

 

т.е. все члены последовательности принадлежат промежутку (-М; M).

 

Определение. Последовательность {xn}называется ограниченной сверху, если для любого n существует такое число М, что

 

xn £ M.

 

Определение. Последовательность {xn}называется ограниченной снизу, если для любого n существует такое число М, что

 

xn ³ M

 

Пример. {xn} = n – ограничена снизу {1, 2, 3, … }.

 

Предельный переход в неравенствах для последовательностей.

Ответ:

Арифметические операции над сходящимися последовательностями приводят к таким же арифметическим операциям над их пределами. В этом пункте покажем, что неравенства, которым удовлетворяют элементы сходящихся последовательностей, в пределе переходят в соответствующие неравенства для пределов этих последовательностей.

Теорема. Если элементы сходящейся последовательности {xn}, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xnb (xnb), то и предел a этой последовательности удовлетворяет неравенству ab (ab).



Доказательство. Пусть все элементы xn, по крайней мере начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xnb. Требуется доказать неравенство ab. Предположим, что a < b. Поскольку a - предел последовательности {xn}, то для положительного ε = b - a можно указать номер N такой, что при nN выполняется неравенство |xn - a| < b - a. Это неравенство эквивалентно следующим двум неравенствам: -(b - a) < xn - a < b - a. Используя правое из этих неравенств, получим xn < b, а это противоречит условию теоремы. Случай xnb рассматривается аналогично. Теорема доказана.

Замечание. Элементы сходящейся последовательности {xn} могут удовлетворять строгому неравенству xn > b, однако при этом предел a может оказаться равным b. Например, если , то xn > 0, однако

.

Следствие 1. Если элементы xn и yn сходящихся последовательностей {xn} и {yn}, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xnyn, то их пределы удовлетворяют такому же неравенству:

В самом деле, элементы последовательности {yn - xn} неотрицательны, а поэтому неотрицателен и ее предел

.

Отсюда следует, что

Следствие 2. Если все элементы сходящейся последовательности {xn} находятся на сегменте [a, b], то и ее предел c также находится на этом сегменте.

В самом деле, так как axnb, то acb.

Следующая теорема играет важную роль в различных приложениях.

Теорема. Пусть {xn} и {zn} - сходящиеся последовательности, имеющие общий предел a. Пусть, кроме того, начиная с некоторого номера, элементы последовательности {yn} удовлетворяют неравенствам xnynzn. Тогда последовательность {yn} сходится и имеет предел a.

Доказательство. Нам достаточно доказать, что последовательность {yn - a} является бесконечно малой. Обозначим через N* номер, начиная с которого выполняются неравенства, указанные в условии теоремы. Тогда, начиная с этого же номера, будут выполняться также неравенства xn - ayn - azn - a. Отсюда следует, что при nN* элементы последовательности {yn - a} удовлетворяют неравенству

|yn - a| ≤ max {|xn - a|, |zn - a|}.

Так как и , то для любого ε > 0 можно указать номера N1 и N2 такие, что при nN1 |xn - a| < ε, а при nN2 |zn - a| < ε. Пусть N = max{N*, N1, N2}. Начиная с этого номера, имеет место неравенство |yn - a| < ε. Итак, последовательность {yn - a} - бесконечно малая. Теорема доказана.





Читайте также:





Читайте также:
Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы...
Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение...
Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация...

©2015 megaobuchalka.ru Все права защищены авторами материалов.

Почему 3458 студентов выбрали МегаОбучалку...

Система поиска информации

Мобильная версия сайта

Удобная навигация

Нет шокирующей рекламы



(0.006 сек.)