В практике обработки экспериментальных данных могут быть ситуации, когда применение лагранжевой аппроксимации (например, полиномиальной) не оправдано или в принципе невозможно.
Примером такой ситуации могут служить случаи, когда набор экспериментальных данных был получен со значительной погрешностью, либо на измеряемую (зависимую) величину влияли некоторые дополнительные, не учитываемые факторы. Для демонстрации этой ситуации на левом рисунке представлены экспериментальные точки, истинная неизвестная кривая f(x) и аппроксимирующая кривая (x), полученная одним из методов лагранжевой аппроксимации.
.
На рисунке представлена ситуация, когда экспериментальные замеры в каждом узле проводились неоднократно и, вследствие указанных выше причин, дали разные результаты. В этом случае применение лагранжевой аппроксимации в принципе невозможно, так как каждому узлу соответствует несколько разных значений
В этих условиях требуется проводить аппроксимирующую кривую, которая не обязательно проходит через узловые точки, но в то же время отражает исследуемую зависимость и сглаживает возможные выбросы, возникшие из-за погрешности эксперимента.
Считаем известными значения экспериментальных данных в узлах и через (x) обозначим непрерывную аппроксимирующую функцию. В узлах значения функций и будут отличаться на величину . Отклонения могут принимать как положительные, так и отрицательные значения. Чтобы не учитывать знаки, возведем каждое отклонение в квадрат, а для оценки близости функций (x) и f(x) возьмем сумму этих квадратов
(4.11)
Метод построения аппроксимирующей функции (x) из условия минимума величины Q называется методом наименьших квадратов ( далее - МНК).
Наиболее распространен способ выбора функции (x) в виде линейной комбинации , где , , …, - базисные функции; ; с0,с1,…,сm - коэффициенты, определяемые при минимизации величины Q. Величину Q можно рассматривать как функцию нескольких переменных с0,с1,…,сm, т.е. Q= Q(с0,с1,…,сm). Минимум такой функции, как известно, достигается при равенстве нулю всех частных производных , i=0,1,2,…,m:
Выбор конкретных базисных функций зависит от свойств аппроксимируемой функцииf(x), таких, как периодичность, экспоненциальный или логарифмический характер, симметричность, наличие асимптот и т.д.
Здесь рассмотрим частный случай, когда аппроксимирующая функция имеет вид наклонной прямой линии . Такую функцию можно представить как линейную комбинацию двух базисных функций (x)=A0(x)+B1(x), где , .
Решение системы (*), расписанной для коэффициентов А и В имеет вид:
,
где символ "надчеркивание" обозначает среднее значение: , т.е.
- среднее значение узловых точек аппроксимации;
- средний квадрат значений узловых точек аппроксимации;
- среднее значение аппроксимируемой функции в узловых точках;
- среднее произведений значений аппроксимируемой функции в узловых точках на значения соответствующих узловых точек.
Если требуется построить аппроксимирующую функцию, имеющую нелинейный характер относительно независимой переменной x, то иногда удается перейти к линейной зависимости.
Например, пусть требуется найти аппроксимирующую функцию в виде .
Прологарифмируем значения аппроксимируемой функции f (x) в узловых точках: , i=0,1,2,…,n и для реализации найдем линейную аппроксимирующую функцию . Формулы для и в этом случае выглядят так:
,
где - среднее значение логарифмов аппроксимируемой функции в узловых точках.
Чтобы теперь осуществить переход от функции к функции , надо пропотенцировать обе части равенства :
Величину обозначим , а коэффициенты С и D, входящие в (4.21), вычисляются по формулам:
.
Следовательно, последовательность действий при аппроксимации экспоненциальной зависимостью выглядит так:
1) вычисление логарифмов значений аппроксимируемой функции ;
2) вычисление коэффициентов и ;
3) вычисление коэффициентов С и D;
4) вычисление значений функции при необходимых значениях х.
Задание
Изучить теоретический материал: метод наименьших квадратов.
По имеющемуся набору экспериментальных данных о зависимости F(x) построить методом наименьших квадратов аппроксимирующую зависимость H(x) в виде H(x)=CeDx. Построить диаграмму с графиком функции H(x) на интервале аппроксимации в виде непрерывной линии и значениями аппроксимируемой функции F(x) в узловых точках.
Для защиты контрольной работы представить на компьютере EXCEL-файл решения задачи и рукописный отчет. В отчете по задаче 3 представить:
- полную запись найденной функции H(x);
- ответы на контрольные вопросы.
Пример решения задачи
A1’Аппроксимация зависимостей методом наименьших квадратов
A2’Исходные данные Объединить клетки A2,B2.
C2’Экспоненциальная зависимость Объединить клетки C2:F2, центрировать по горизонтали.
A3’x B3’F(x) C3’x*x D3’lnF E3’X*lnF F3’H(x)
Вводим исходные данные из таблицы индивидуальных заданий: в клетки A4:A23 - данные по x , в B4:B23 - по F(x)
Найдем средние значения необходимых величин:
A24’Средние Объединить клетки A24:E24, центрировать по горизонтали.
A25=СРЗНАЧ(A4:A23) Копируем A25 в С25:Е25.
Вычислим коэффициенты экспоненциальной модели C и D: