Краткие теоретические сведения. Обыкновенное дифференциальное уравнение порядка n имеет вид: (*)
Обыкновенное дифференциальное уравнение порядка n имеет вид:
где y = y(x,a1,a2,...,an), где a1,a2,...,an - произвольные константы.
Если в дополнение к уравнению (*) задать конкретные значения для некоторого значения x0 в виде
то тем самым определяется конкретный набор a1, a2, ... , an и, следовательно, единственная конкретная функция y(x,a1, a2, ... , an) из всего семейства решений. Условия (**) называются начальными условиями, а вся задача, включающая дифференциальное уравнение (*) и начальные условия (**), называется "задачей Коши". В задании 5 рассматривается решение задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Формулировка задачи звучит так: требуется решить дифференциальное уравнение К сожалению, класс дифференциальных уравнений, позволяющих аналитическими методами получить решение, довольно узок. Например, уравнение y'=x2+y2 не имеет аналитического решения.
5.1.1. Метод Эйлера Это простейший метод решения задачи Коши, позволяющий интегрировать дифференциальные уравнения первого порядка. Его точность невелика, и поэтому на практике им пользуются сравнительно редко. Однако на основе этого метода легче понять алгоритмы других, более эффективных методов. Считаем, что уже известно значение ym искомой функции y(x) в точке xm (m=1,2,3,…). Каждое следующее значение ym+1 в точке xm+1=xm+h определяется по формуле Вывод вычислительной формулы метода Эйлера и его геометрическая интерпретация даны в [ 1 ]. Метод Эйлера является методом первого порядка точности. 5.1.2. Метод Рунге-Кутта IV порядка. Наиболее распространенным численным методом решения задачи Коши является метод Рунге-Кутта IV порядка, обеспечивающий достаточно высокую точность, которая с лихвой оправдывает дополнительное, по сравнению методом Эйлера и его модификациями, увеличение объема вычислительной работы. Расчеты при использовании этого классического метода производятся по формуле
5.1.3.
Задание Изучить теоретический материал: численные методы решения дифференциальных уравнений. Дано дифференциальное уравнение Для обеспечения возможности оценки точности методов в таблице для каждого дифференциального уравнения приведено также его точное, аналитическое решение y=y(x,C), где C – произвольная константа. Требуется определить значение C, при котором это решение удовлетворяет начальным условиям y(x0)=y0, и сформировать таблицу значений функции y(x,C) на промежутке [xнач,хкон] с шагом h. В качестве результата требуется сформировать таблицу, содержащую следующие графы: 1) значения аргумента х; 2) решение, полученное методом Эйлера; 3) решение, полученное методом Рунге-Кутта 4-го порядка; 4) аналитическое решение y(x,C) уравнения; 5) ошибка метода Эйлера по сравнению с точным решением; 6) ошибка метода Рунге-Кутта по сравнению с точным решением. Построить диаграмму с графиками решений по Эйлеру и по Рунге-Кутту. Для защиты контрольной работы представить на компьютере EXCEL-файл решения задачи и рукописный отчет. В отчете по задаче 5 представить ответы на контрольные вопросы. Пример решения задачи Порядок выполнения работы поясним на примере решения дифференциального уравнения Введем заголовки таблицы и исходные данные: A1’РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Скопируем из таблицы вариантов запись дифференциального уравнения и поместим ее как графический объект следом за введенным текстом. А2’Общее решение Скопируем из таблицы вариантов запись общего решения уравнения и поместим ее как графический объект следом за введенным текстом. A3’Начальные условия: D3’Xo= E30 F3’Yo= G31 A4’Промежуток интегрирования: D4’Хн= E40 F4’Хк= G40,7 A5’Шаг интегрирования: D5’H= E5=(G4-E4)/20 A6’x B6’Эйлер С6’К0 D6’K1 E6’K2 F6’K3 G6’Р-К H6’Точное I6’Ошибка Эйлера J6’Ошибка Р-К Заполняем столбец значений аргумента х: A7=E3 A8=A7+$E$5 Копируем А8 в А9:А27 Заполняем столбец решения по методу Эйлера: B7=G3 B8=B7+$E$5*(A7+B7)^2 . Копируем B8 в B9:B27. Заполняем столбцы решения по методу Рунге-Кутта: G7=G3 C8=$E$5*(A7+G7)^2 D8=$E$5*(A7+0,5*$E$5+G7+0,5*C8)^2 E8=$E$5*(A7+0,5*$E$5+G7+0,5*D8)^2 F8=$E$5*(A7+$E$5+G7+E8)^2 G8=G7+(C8+2*D8+2*E8+F8)/6 Копируем C8:G8 в C9:G27. Для построения столбца точного решения вычислим константу C, подставив в общее решение заданные начальные условия:
Занесем в таблицу вычисленную константу: F2’С= G2=ПИ()/4 Заполняем столбец точного решения: H7=TAN(A7+$G$2)-A7 Копируем H7 в H8:H27. Заполняем столбцы ошибок Эйлера и Рунге-Кутта: I7=ABS(H7-B7) J7=ABS(H7-G7) . Копируем I7,J7 в I8:J27. Построим совместные графики «метод Эйлера– метод Рунге-Кутта».
Полученная в результате описанных действий электронная таблица:
Таблица индивидуальных заданий
5.5. Контрольные вопросы 1. Что является решением дифференциального уравнения? 2. Что является решением задачи Коши? 3. В чем заключается трудность численного решения задачи Коши с помощью рядов Тейлора? 4. Почему методы решения задачи Коши, использованные в данной работе, называются одношаговыми? 5. Каковы порядки точности использованных методов?
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. Ершов М.Н. Численные методы решения задач: Конспект лекций. / М.Н. Ершов.–Керчь: КГМТУ, 2013,–59с. 2. Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бэйсик, Фортран и Паскаль. / А.Е. Мудров.- Томск; : МП «РАСКО», 1991. - 272с. 3. Маликов В.Т., Кветный Р.Н. Вычислительные методы и применение ЭВМ. Учеб. пособие./ В.Т. Маликов, Р.Н. Кветный – Киев: Высшая школа,1989. - 213с 4. Самарский А.А. Численные методы. / А.А. Самарский, А.В.Гулин. – М.: Наука, 1989. 5. Волков Е.А. Численные методы. / Е.А. Волков. – М.: Наука,1987. 6. Воробьева Г.Н. Практикум по вычислительной математике. Учеб. пособие. / Г.Н. Воробьева, А.Н. Данилова. – М.:Высш.шк.,1990. – 208с. 7. Бахвалов Н.С. Численные методы. / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. – М., Наука, 1987. 8. Калиткин Н.Н. Численные методы. / Н.Н. Калиткин. – М., Наука, 1978.
Ó Михаил Николаевич Ершов
ИНФОРМАТИКА Методические указания по выполнению контрольной работы по разделу «Численные методы решения задач» для студентов 2 курса специальностей 26.05.05 «Судовождение», 26.05.06 «Эксплуатация судовых энергетических установок», 26.05.07 «Эксплуатация судового электрооборудования и средств автоматики» и направления 13.03.02 Электроэнергетика и электротехника заочной формы обучения
Тираж_____экз. Подписано к печати_____________. Заказ №________. Объем 1,7 п.л. Изд-во ФГБОУ ВО «Керченский государственный морской технологический университет» 298309 г. Керчь, Орджоникидзе, 82.
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ![]() ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1204)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |