Квазиклассическое приближение в статистической физике
Мы говорили, что состояние квантово-механической системы описывается каноническим распределением: , где - номер состояния Потом учли, что энергетические уровни близко расположены друг к другу и ввели вместо дискретного спектра – непрерывный: Ввели функцию В нормировке функции перешли к интегралу: - это число состояний в интервале энергий Здесь - плотность состояний с энергией на единичный интервал энергии. Мы вместо часто пользуемся функцией : , где Функция - размерная. Величина имеет размерность , тогда объёмчик имеет размерность . Значит, функция имеет размерность Поэтому удобно ввести величину: , - число степеней свободы системы Тогда: (здесь уже безразмерные величины) При имеем квазиклассическое приближение. В этом случае характеризует величину числа состояний в интервале . Как же посчитать число состояний при переходе из фазового пространства в квазиклассическое представление? В квантовой механике: т.е. это точность, с которой определяется фазовая точка в фазовом пространстве. Но фазовая точка определяет состояние, тогда это точность, с которой определяется состояние:
- это площадка, описывающая состояние. -точнее этого мы состояние не определим. Более точные измерения дают: - такая площадка выделяется на фазовую точку (в случае, когда - одна степень свободы). - это объём, приходящийся на одно состояние в квазиклассическом приближении, при степенях свободы. Тогда: где - элементарный объём фазового пространства, а - объём на одно состояние, следовательно - число состояний. Тогда в квазиклассическом приближении каноническое распределение выглядит так: Множитель возникает по следующим причинам: В квантовом случае - суммирование по числу состояний, и мы учитывали нетождественные перестановки. Но интегрирование по фазовому пространству не чувствительно к тождественным перестановкам – не выбрасываем их, поэтому возник множитель - учитывающий тождественные перестановки. Это имеет место при переходе в квазиклассическое приближение. Замечание: Принцип тождественности оказывает влияние только на расчёт статистического интеграла , при расчёте средних он не влияет.
Каноническое распределение для квантовых систем имеет вид: - суммирование по квантовым состояниям При переходе в квазиклассику, используя переход , получаем для вероятности состояния (здесь индекс не проставлен): где и , - это вероятность того, что фазовая точка с координатами попадает в элементарный объём в фазовом пространстве. Мы писали: под понимаем Очевидно, что константу можно выкинуть, если рассчитывать средние через вероятность, при переходах: т.к. константа не влияет на расчёт средних. Часто рассматривают случай, когда квазиклассичность имеет место не по всем степеням свободы, а лишь по некоторым. Тогда суммируем по квантовым степеням свободы и интегрируем по квазиклассическим степеням свободы, т.е. имеем «гибрид»: и в этом случае имеется и статистическая сумма и статистический интеграл.
§21*. Распределение Максвелла как следствие канонического распределения Гиббса
Далее будем излагать без константы , т.к. она нам в ближайших расчётах не понадобится. здесь , а - число степеней свободы. В квазиклассике: Рассмотрим систему из материальных точек и в качестве степеней свободы выберем переменных: т.е. это обычное трехмерное пространство. Тогда можем в явном виде записать кинетическую энергию и аргументы потенциальной энергии: и здесь время отсутствует, потому что решается стационарная задача. И функция плотности вероятности и вероятность зависят от всех выше указанных переменных: (15) Каждый вектор - т.е. это элементарный объём соответствующего трёхмерного пространства. Вероятность говорит о событии: где . Если имеем вероятность некоторого совместного события: то вероятность одного из них: тогда: (16) Используем соотношение (16), чтобы, зная вероятность (15), найти плотность распределения импульсов (в данном случае импульса первой точки): Аналогично (16) получаем: здесь интегралов Для функции имеем: При интегрировании функция даст константу, а выносится за интеграл тогда: Из условия нормировки найдём константу : Далее индекс «1» ставить не будем, т.к. если все точки одинаковы, то нет смысла выделять точку (для всех точек распределение будет одинаковое). и (Далее Т – температура) Тогда: , а все переменные меняются в пределах от до , тогда получаем: где Тогда получаем: Само распределение имеет вид: Мы получили распределение вероятностей импульсов или распределение Максвелла. Хотя его ещё называют распределением Больцмана. Эта вероятность говорит о событии: здесь три неравенства, т.к. имеется три проекции импульса.
§22. Использование распределения Максвелла для расчёта средних: , , ,
- кинетическая энергия Посмотрим . Если рассмотрим , то получим: Запишем выражение для : Подставим в наше выражение, тогда получим: Тогда мы можем записать: , Тогда: Аналогичные результаты имеем для и , тогда: Легко найти : здесь - температура в энергетических единицах. При расчёте в произвольной степени , имеет место другая схема расчёта, а именно: , где При нечётном надо учитывать симметричность , т.е. - получается чётная функция. В этом сложность расчёта. Поэтому для расчёта переходят в сферические координаты: Тогда: Сделаем замену переменных: , , Тогда получим: Используем гамма функцию : Из свойств гамма функции замечаем такие соотношения:
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1552)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |