Цикл Карно, теорема Карно, обратный цикл Карно

Карно рассмотрел обратимый круг. пр. Этот пр. сост. из 4-х обрат. процессов: двух изотермич. и двух адиаб. Цикл Карно сыграл большую роль в развитии термод. и теплотехники, т.к. позволяет проводить анализ кпд тепл. двиг. На рис. прямой цикл Карно: /-/’ изотерм. расшир. при Т₁ (Т_1’ = Т₁), адиабатного расш. 1’-2, изотер. сжатие 2-2’ при Т₂ (Т₂ = Т_2’) и адиаб. сжатие 2’-1. Процесс проходит так:

Газ в цилиндре с подвижным поршнем, в процессе изотерм. расш. находится в тепл. контакте с равновес. раб. телом при Т₁. Это тело наз. нагреватель. – большой резервуар с водой. В процессе H’ нагреватель передает газу теплоту Q₁>0. Теплоемкость нагревателя д.б. бесконечно большой (иначе Т нагревателя стала бы уменьш. и нарушалась бы изотермичность порц.). В проц. 1’-2 газ полностью теплоизолируют и его расширение происходит адиабатно. Для этого на участке 1’-2 цикла его необх. разобщить с нагревателем и заключил в теплонепр. оболочку. На участке 2-2’ газ приводят в тепл. контакт с др. телом, имеющим Т₂ (Т₂< Т₁) - холодильником. В пр. 2-2’газ изотермически сжимается и передает холодильнику теплоту – Q₂. Затем, в сост 2’ газ снова теплоизолируется и адиабатно сжимается до первонач. сост. 1, где цикл. К. заверш.

Работа, кот. соверш. раб. тело в прямом цикле К. равна

A = Q = Q₁-Q₂

т.е. A< Q₁, т.е. полезная работа меньше энергии, получ. в формк теплоты от нагр. на количество тепл., отданное хол. Этот результат справедлив для любого прямого круг. проц.:

А₁ соверш. за прямой цикл всегда меньше к-ва теплоты, подводимого всеми нагревателями.

Величина η = А/Q_подв. – отнош. работы А, соверш. раб. телом в прямом обр. цикле, к кол-ву тепл. Q_подв сообщенному в этом проц. раб. телу нагрев, наз. термическим кпд цикла. Он характ. экономичность цикла тепл. двиг. Для прямого цикла A = Q₁-Q₂, а Q_подв. = Q₁ тогда кпд цикла

η = (Q₁-Q₂)/Q₁

Далее будет показано, что η зависит только от Т нагр. и Т хол.

η = (Т₁-Т₂)/Т₁ = 1- Т₂/Т₁ (**)

Из последних ф-л видно, что (Q₁-Q₂)/Q₁ = (Т₁-Т₂)/Т₁ или

1 - Q₂/Q₁ = 1 - Т₂/Т₁ => Q₁/Т₁ Q₁/Т₁+ Q₂/Т₂ = 0

При выводе ф-лы (**) не делалось никаких предположений о свойствах раб. тела и устройства тепл. машины (ф-ла теорет.). След-но кпд всех обратимых машин, работающих в один. условиях (т.е. при одинак. Т₁ и Т₂) одинаков и определ только температурами нагревателя и холод. – Это теорема Карно.

В обр. цикле К. отводится к-во тепл. Q₁ в процессе 1’-1 – изотерм. сжатие при Т₁, а к-во теплоты Q₂ подводится к газу в процессе 2’-2 изотермич. расшир. при Т₂< Т₁. След-но Q₁<0; Q₂>0 и работа, совершаемая газом за цикл отрицательна A = Q₁-Q₂<0. Этот вывод справедлив для любого обратного цикла. Если раб. тело сов. обр. цикл, то при этом идет передача теплоты от холл. тела к горячему за счет соверш. внешними силами соответств. работы. По такому принципу работают холодильники.

Величина Σ равная отнош. Q_отв теплоты, отведенной в обр. цикле от охлажд. тела, к работе А’, затраченной в этом цикле, наз. холодильным коэффициентом.

Σ = Q_отв/ А’

В частности для обр. цикла Карно Q_отв = Q₂ А’ = -А = Q₁-Q₂, а связь между Q₁ и Q₂ такая же, как в прямом цикле, т.е.

Σ = Q₂/(Q₁-Q₂) = Т₂/(Т₁-Т₂)

 

рис.19

 

4.4 Энтропия

В середине ХІХ века было сделано существенное открытие, касающееся обратимых т. процессов. Оказалось, что наряду с внутренней энергией у тела имеется еще одна важная функция состояния – энтропия. Так же, как и внутренняя энергия, энтропия определяется с точностью до произвольной постоянной. В опытах проявляется значение разности энтропий (энтропия от греческого слова преобразовать, превратить).

Если тело или система при бесконечно малом переходе из одного состояния в другое при темпратуре Т получает малое количество теплоты δQ, то отношение δQ/Т является полным дифференциалом некоторой функции S. Эта функция и есть энтропия, определяющаяся, таким образом, двумя эквива

лентными равенствами:

dS = δQ/Т, а после интегрирования: ΔS = S₂-S₁ = ∫ δQ/Т

Открытие этого принципа связано с именами Карно и Клаузиуса, и является существенной частью 2-го з-на т.

Переход системы из одного состояния в другое может произойти бесчисленным количеством способов (разные кривые на графике с окончанием в одних

точках), при этих переходах тело может получать разные количества тепла,

Например, тело нагревают равномерно от 20 до 25˚С, при этом оно получает по 5 Дж теплоты на 1 К. Тогда прирост энтропии, примерно, равен S₂-S₁ ≈ 5/293,5+5/294,5+5/295,5+5/296,5+5/297,5 Дж/К. Наиболее просто выразить изменение энтропии при изотермическом процессе: S₂-S₁ = Q/Т

За нуль энтропии может быть принято значение энтропии любого состояния, (кипящей воды, плавящегося льда). Однако, в некоторых случаях за нуль

принимают значение энтропии при абсолютном нуле Т. Приняв S = 0 при Т = 0, энтропию при произвольной температуре находят из выражения:

S = ∫ νСрdT/T если нагрев происходил при р= const. Чтобы определение энтропии dS = δQ/Т было обоснованным, необходимо доказать, что в любом обратимом круговом процессе интеграл от δQ/Т тождественно равен 0.

δQ/Т ≡0, т.е. S = const

Если известно уравнение состояния вещества, то энтропия (с точностью до const) может быть вычислена весьма просто. По определению:

dS = δQ/Т , подставив сюда δQ из 1-го з-на т. получим:

dS = (m/M)(C_vdT/T+RdV/V)

Взяв определенный интеграл, получим S₂-S₁ = (m/M)(C_v lnT₂ /T₁+ RlnV₂/V₁).

Это выражение для энтропии идеальных газов: она возрастает с повышением Т и при увеличении объема газа при подводе к телу теплоты δQ.

 

рис.20