Какие интегралы будут рассмотрены?
Сначала мы рассмотрим интегралы с корнями, для решения которых последовательно используется замена переменнойи интегрирование по частям. То есть, в одном примере комбинируются сразу два приёма. И даже больше. Затем мы познакомимся с интересным и оригинальным методом сведения интеграла к самому себе. Данным способом решается не так уж мало интегралов. Третьим номером программы пойдут такие интегралы от дробей, которых не было в предыдущих рахдела. В-четвертых, будут разобраны дополнительные интегралы от тригонометрических функций. В частности, существуют методы, которые позволяют избежать трудоемкой универсальной тригонометрической подстановки. И в заключении рассмотрим интеграл от корня, под которым находится дробь, а в числителе и знаменателе дроби – линейные функции.
Последовательная замена переменной и интегрирование по частям Пример 1 Найти неопределенный интеграл . Подынтегральная функция представляет собой арктангенс, под которым находится кубический корень. Первая же мысль, которая приходит в голову – избавиться бы от этого корня. Данный вопрос решается путем замены переменной, сама техника замены специфична, и она подробно рассмотрена на уроке Интегралы от иррациональных функций. Проведем замену: . После такой замены у нас получится вполне симпатичная вещь: . Осталось выяснить, во что превратится . Навешиваем дифференциалы на обе части нашей замены: . И, само собой, раскрываем дифференциалы: . На чистовике решение кратко записывается примерно так: . Проведем замену: . . В результате замены получим интеграл, который интегрируется по частям: . (1) Выносим (1/3) за скобки. К оставшемуся интегралу применяем прием, который рассмотрен в первых примерах урока статьи Интегрирование некоторых дробей. (2) В подынтегральной функции почленно делим числитель на знаменатель. (3) Используем свойство линейности неопределенного интеграла. В последнем интеграле сразу подводим функцию под знак дифференциала. (4) Берём оставшиеся интегралы. Обратите внимание, что здесь в логарифме можно использовать скобки, а не модуль, так как . (5) Проводим обратную замену, выразив из прямой замены «тэ»: .
Как видите, в ходе решения пришлось использовать даже больше двух приемов решения, таким образом, для расправы с подобными интегралами нужны уверенные навыки интегрирования и не самый маленький опыт. На практике, конечно же, чаще встречается квадратный корень, вот три примера для самостоятельного решения.
Пример 2 Найти неопределенный интеграл .
Пример 3 Найти неопределенный интеграл .
Пример 4 Найти неопределенный интеграл .
Данные примеры однотипны, поэтому полное решение в конце статьи будет только для Примера 2, в Примерах 3-4 – одни ответы. Какую замену применять в начале решений - очевидно. Но не всегда, когда под арктангенсом, синусом, косинусом, экспонентой и др. функциями находится корень из линейной функции, приходится применять сразу несколько методов. В ряде случаев удается «легко отделаться», то есть сразу после замены получается простой интеграл, который элементарно берётся. Самым легким из предложенных выше заданий является Пример 4, в нём после замены получается относительно несложный интеграл.
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1280)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |