Определенный интеграл. Примеры решений
Для того, чтобы научиться решать определенные интегралы необходимо: 1) Уметь находить соответствующие неопределенные интегралы. 2) Уметь вычислить определенный интеграл. Как видите, для того, чтобы освоить определенный интеграл, нужно достаточно хорошо ориентироваться в «обыкновенных» неопределенных интегралах. Поэтому, если вы только-только начинаете погружаться в интегральное исчисление, и чайник еще не совсем закипел, то лучше начать с урока Неопределенный интеграл. Примеры решений. В общем виде определенный интеграл записывается так: Что прибавилось по сравнению с неопределенным интегралом? Прибавились пределы интегрирования. Нижний предел интегрирования стандартно обозначается буквой a. Верхний предел интегрирования стандартно обозначается буквой b. Отрезок [a; b] включает граничные точки и называется отрезком интегрирования. Что такое определенный интеграл? Можно посмотреть в учебниках про диаметр разбиения отрезка, предел интегральных сумм и т. д., но урок носит практический характер. Поэтому скажем, что определенный интеграл – это, прежде всего, самое что ни на есть обычное ЧИСЛО. Есть ли у определенного интеграла геометрический смысл?Есть. И очень хороший. Самая популярная задача вычисления определённого интеграла – вычисление площади с помощью определенного интеграла. Что значит решить определенный интеграл?Решить определенный интеграл – это значит, найти число, равное приращению первообразной функции на отрезке [a; b]. Как решить определенный интеграл?С помощью знакомой со школы формулы Ньютона-Лейбница: . Формулу лучше переписать на отдельный листочек, она должна быть перед глазами на протяжении всего урока. Этапы решения определенного интеграла следующие: 1) Сначала находим первообразную функцию F(X) (неопределенный интеграл). Обратите внимание, что константа C в определенном интеграле никогда не добавляется. Обозначение является чисто техническим, и вертикальная палочка не несет никакого математического смысла, по сути – это просто отчёркивание. Зачем нужна сама запись ? Это подготовка для применения формулы Ньютона-Лейбница. 2) Подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию: F(b). 3) Подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию: F(a). 4) Рассчитываем (без ошибок!) разность F(b)-F(a), то есть, находим число, равное приращению первообразной (от подынтегральной) функции на отрезке [a; b]. Готово.
Всегда ли существует определенный интеграл? Нет, не всегда существует всё, что мы напишем в виде определённого интеграла. Например, интеграла не существует, поскольку отрезок интегрирования не входит в область определения подынтегральной функции и значения под квадратным корнем не могут быть отрицательными. А вот менее очевидный пример: . Такого интеграла тоже не существует на всём отрезке [-2; 3], так как в точках , этого отрезка подынтегральная функция f(x) = tg(x) не существует. Для того, чтобы определенный интеграл существовал на данном отрезке, необходимо, чтобы подынтегральная функция была непрерывной на отрезке интегрирования. Из вышесказанного следует первая важная рекомендация: перед тем, как приступить к решению ЛЮБОГО определенного интеграла, нужно убедиться в том, что подынтегральная функция непрерывна на отрезке интегрирования. Бывает так, что подолгу мучаешься с нахождением трудной первообразной, а когда наконец-то ее находишь, то ещё и ломаешь голову над вопросом: «что за ерунда получилась?». Например, если получилось примерно так: ???!!! то нельзя подставлять отрицательные числа под корень! Если для решения в контрольной работе, на зачете или экзамене Вам предложен несуществующий интеграл вроде , то нужно дать ответ, что интеграла не существует и обосновать – почему. Может ли определенный интеграл быть равен отрицательному числу?Может. И отрицательному числу. И нулю. Может даже получиться бесконечность, но это уже будет несобственный интеграл, коим отведена отдельная лекция. Может ли нижний предел интегрирования быть больше верхнего предела интегрирования?Может, и такая ситуация реально встречается на практике. Интеграл преспокойно вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница. Без чего не обходится высшая математика? Конечно же, без всевозможных свойств. Поэтому рассмотрим некоторые свойства определенного интеграла.
В определенном интеграле можно переставить верхний и нижний предел, сменив при этом знак: Например, в определенном интеграле перед интегрированием целесообразно поменять пределы интегрирования на «привычный» порядок: . В таком виде интегрировать значительно удобнее. Как и для неопределенного интеграла, для определенного интеграла справедливы свойства линейности: Это справедливо не только для двух, но и для любого количества функций. В определенном интеграле можно проводить замену переменной интегрирования, правда, по сравнению с неопределенным интегралом тут есть своя специфика, о которой мы еще поговорим. Для определенного интеграла справедлива формула интегрирования по частям: .
Пример 1 Вычислить определенный интеграл . Решение: (1) Выносим константу за знак интеграла. (2) Интегрируем по таблице с помощью самой популярной формулы . (3) Используем формулу Ньютона-Лейбница . Сначала подставляем в x3 верхний предел, затем – нижний предел. Проводим дальнейшие вычисления и получаем окончательный ответ.
Пример 2 Вычислить определенный интеграл . Это пример для самостоятельно решения, решение и ответ в конце урока.
Пример 3 Вычислить определенный интеграл . Решение: . (1) Используем свойства линейности определенного интеграла. (2) Интегрируем по таблице, при этом все константы выносим – они не будут участвовать в подстановке верхнего и нижнего предела. (3) Для каждого из трёх слагаемых применяем формулу Ньютона-Лейбница. СЛАБОЕ ЗВЕНО в определенном интеграле – это ошибки вычислений и часто встречающаяся ПУТАНИЦА В ЗНАКАХ. Будьте внимательны! Особое внимание заостряем на третьем слагаемом: , т. к. очень часто машинально пишут . Следует заметить, что рассмотренный способ решения определенного интеграла – не единственный. При определенном опыте, решение можно значительно сократить. Например, так: . Здесь устно использованы правила линейности, устно проинтегрированы табличные интегралы. Получилась всего одна скобка с отчёркиванием пределов: (в отличие от трёх скобок в первом способе). И в «целиковую» первообразную функцию мы сначала подставили 4, затем –2, опять же выполнив все действия в уме. При втором способе существует повышенный риск допустить ошибку в вычислениях, поэтому студенту-чайнику лучше использовать первый способ, чтобы не терять знаки. Несомненными преимуществами второго способа является быстрота решения, компактность записи и тот факт, что первообразная. находится в одной скобке.
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (4270)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |