Критерий, предложенный А.Н. Колмогоровым, позволяет с достаточно большой достоверностью проверить, принадлежат ли статистические данные распределений вероятностей безотказной работы изделия к предполагаемому типу семейств законов распределения. Достоинством критерия Колмогорова является то, что его можно использовать для малых n (порядка единиц и десятков).
При проверке вычисляют опытное значения эмпирической функции последовательно во всех интервалах. Опытное значение функции плотности распределения вероятности определим по формуле 2.13:
и в этих же интервалах последовательно вычисляют значения теоретической функции. Затем находят интервал, в котором отклонение Dd принимает максимальное значение:
.
Подтверждение нормального закона распределения Р(λ) определяют [13] в соответствие с критерием согласия λ по таблице 3 приложения 3, если справедлива зависимость Р(λ) > 0,05.
, (4.8)
Теоретическое уравнение плотности распределения для нормального закона [13] имеет вид:
, (4.9)
где Ф(t) = 0,5 интеграл вероятности и Ф(x) - интегральная функция распределения.
Функция распределения:
где – квантиль нормального распределения.
Так как функция Лапласса нечетная, то справедливо равенство
Ф(–х) = – Ф(х)
Задача 9
С помощью критерия Колмогорова определить соответствие данных наработка на отказ из задачи 2 нормальному закону распределения.
Пример решения
Опытное значение функции плотности распределения вероятности FЭ(xj) определяют по формуле 2.13 (см. задачу 5)
; , аналогичным способом определить значения: , , , , .
Теоретическое значение функции плотности распределения вероятности
FT(xj) определяют по формуле (4.9), вначале определив квантиль нормального распределения x для все семи интервалов группирования:
3. Рассоха В.И. Основы теории надежности и диагностика автомобилей: Учебное пособие. – Оренбург: ОГУ, 2002. – 144с.
4. Техническая эксплуатация автомобильного транспорта / В.Н. Черкис, И.А. Луйк, М.Н. Бедняк и др.; Под общ. ред. М.Н. Бедняка. – К.:Техника, 1979.–295 с.
5. Труханов В.М. Надежность в технике. – М.: Машиностроение, 1999. – 598с.
6. Завадский Ю.В. Статистическая обработка эксперимента в задачах автомобильного транспорта. – М.: МАДИ, 1982. – 136 с.
7. Керимов Ф.Ю. Теоретические основы сбора и обработки информации о надежности машин. - М.: МАДИ, 1979. – 135 с.
8. Керимов Ф.Ю. Методические указания по лабораторному практикуму курса «Теоретические основы сбора и обработки информации о надежности машин».– М.: МАДИ, 1980. – 121 с.
9. Теннант-Смит Дж. Бейсик для статистиков. – М.:Мир, 1988. – 208 с.
10. Шторм Р. Теория вероятностей. Математическая статистика. 11. Статистический контроль качества. –М.: Мир, 1970.- 368 с.
12. В. И. Брауде, Л. Н. Семенов. Надёжность подъёмно-транспортных машин. – Л.: «Машиностроение», 1986.–182 с.
13. В. А. Зорин. Основы работоспособности технических систем.- М.: 2005. – 535 с.
Приложение 1
Табл. 1
Справочные таблицы
Квантили для распределения
0,995
0,990
0,975
0,950
0,900
0,750
0,00004
0,00016
0,00098
0,00393
0,01579
0,10153
0,01003
0,02010
0,05064
0,10259
0,21072
0,57536
0,07172
0,11483
0,21580
0,35185
0,58437
1,21253
0,20699
0,2971 1
0,48442
0,71072
1,06362
1,92256
0,41174
0,55430
0,83121
1,14548
1,61031
2,67460
0,67573
0,87209
1,23734
1,63538
2,20413
3,45460
0,98926
1,23904
1,68987
2,16735
2,83311
4,25485
1,34441
1,64650
2,17973
2,73264
3,48954
5,07064
I,73493
2,08790
2,70039
3,32511
4,16816
5,89883
2,15586
2,55821
3,24697
3,94030
4,86518
6,73720
2,60322
3,05348
3,81575
4,57481
5,57778
7,58414
3,07382
3,57057
4,40379
5,22603
6,30380
8,43842
3,56503
4,10692
5,00875
5,89186
7,04150
9,29907
4,07467
4,66043
5,62873
6,57063
7,78953
10,16531
4,60092
5,22935
6,26214
7,26094
8,54676
11,03654
5,14221
5,81221
6,90766
7,96165
9,31224
11,91222
5,69722
6,40776
7,56419
8,67176
10,08519
12,79193
6,26480
7,01491
8,23075
9,39046
10,86494
13,67529
6,84397
7,63273
8,90652
10,11701
11,65091
14,56200
7,43384
8,26040
9,59078
10,85081
12,44261
15,45177
8,03365
8,89720
10,28290
11,59131
13,23960
16,34438
8,64272
9,54249
10,98232
12,33801
14,04149
17,23962
9,26042
10,19572
11,68855
13,09051
14,84796
18,13730
9,88623
10,85636
12,40115
13,84843
15,65868
19,03725
10,51965
11,52398
13,11972
14,61141
16,47341
19,93934
11,16024
12,19815
13,84390
15,37916
17,29188
20,84343
11,80759
12,87850
14,57318
16,15140
18,11390
21,74940
12, 46134
13,56471
15,30786
16,92788
18,93924
22,65716
13, 12115
14,25645
16,04707
17,70837
19,76774
23,56659
13,78672
14,95346
16,79077
18,49266
20,59923
24,47761
Приложение 1
Табл. 1 (продолжение)
f/1-a
0,500
0,250
0,100
0,050
0,025
0,010
0,005
0,45494
1,32330
2,70554
3,84146
5,02389
6,63490
7,87944
1,38629
2,77259
4,60517
5,99146
7,37776
9,21034
10,59663
2,36597
4,10834
6,25139
7,81473
9,34840
11,34487
12,83816
3,35669
5,38527
7,77944
9,48773
11,14329
13,27670
14,86026
4,35146
6,62568
9,23636
11,07050
12,83250
15,08627
16,74960
5,34812
7,84080
10,64464
12,59159
14,44938
16,81189
18,54758
6,34581
9,03715
12,01704
14,06714
16,01276
18,47531
20,27774
7,34412
10,21885
13,36157
15,50731
17,53455
20,09024
21, 95495
8,34283
11,38875
14,68366
16,91898
19,02277
21,66599
23,58935
9,34182
12,54886
15,98718
18,30704
20,48318
23,20925
25,18818
10,34100
13,70069
17,27501
19,67514
21,92005
24,72497
26,75685
11,34032
14,84540
18,54935
21,02607
23,33666
26,21697
28,29952
12,33976
15,98391
19,81193
22,36203
24,73560
27,68825
29,81947
13,33927
17,11693
21,06414
23,68479
26,I1895
29,14124
31,31935
14,33886
18,24509
22,30713
24,99579
27,48839
30,57791
32,80132
15,33850
19,36886
23,54183
26,29623
28,84535
31,99993
34,26719
16,33818
20,48868
24,76904
27,58711
30,19101
33,40866
35,71847
17,33790
21,60489
25,98942
28,86930
31,52638
34, 80531
37,15645
18,33765
22,71781
27,20357
30,14353
32,85233
36,19087
38,58226
19,33743
23,82769
28,41198
31,41043
34,16961
37,56623
39,99685
20,33723
24,93478
29,61509
32,67057
35,47888
38,93217
41,40106
21,33704
26,03927
30,81328
33,92444
36,78071
40,28936
42,79565
22,33688
27,14134
32,00690
35,17246
38,07563
41,63840
44,18128
23,33673
28,24115
33,19624
36,41503
39,36408
42,97982
45,55851
24,33659
29,33885
34,38159
37,65248
40,64647
44,31410
46,92789
25,33646
30,43457
35,56317
38,88514
41,92317
45,64168
48,28988
26,33634
31,52841
36,74122
40,11327
43,19451
46,96294
49,64492
27,33623
32,62049
37,91592
41,33714
44,46079
48,27824
50,99338
28,33613
33,71091
39,08747
42,55697
45,72229
49,58788
52,33562
29,33603
34,79974
40,25602
43,77297
46,97924
50,89218
53,67196
Приложение 1
Табл. 2
Квантили распределения Стьюдента
f\a
0,40
0,25
0,10
0,05
0,324920
1,000000
3,077684
6,313752
0,288675
0,816497
1,885618
2,919986
0,276671
0,764892
1,637744
2,353363
0,270722
0,740697
1,533206
2,131847
0,267181
0,726687
1,475884
2,015048
0,264835
0,717558
1,439756
1,943180
0,263167
0,711142
1,414924
1,894579
0,261921
0,706387
1,396815
1,859548
0,260955
0,702722
1,383029
1,833113
0,260185
0,699812
1,372184
1,812461
0,259556
0,697445
1,363430
1,795885
0,259033
0,695483
1,356217
1,782288
0,258591
0,693829
1,350171
1,770933
0,258213
0,692417
1,345030
1,761310
0,257885
0,691197
1,340606
1,753050
0,257599
0,690132
1,336757
1,745884
0,257347
0,689195
1,333379
1,739607
0,257123
0,688364
1,330391
1,734064
0,256923
0,687621
1,327728
1,729133
0,256743
0,686954
1,325341
1,724718
0,256580
0,686352
1,323188
1,720743
0,256432
0,685805
1,321237
1,717144
0,256297
0,685306
1,319460
1,713872
0,256173
0,684850
1,317836
1,710882
0,256060
0,684430
1,316345
1,708141
0,255955
0,684043
1,314972
1,705618
0,255858
0,683685
1,313703
1,703288
0,255768
0,683353
1,312527
1,701131
0,255684
0,683044
1,311434
1,699127
0,255605
0,682756
1,310415
1,697261
Приложение 2
Таблица 1
Значения Кb, gb, рb для заданных значений b
b
Kb
gb
Рb
0,20
120,000
1901,158
190,113
0,30
9,261
50,078
28,334
0,40
3,323
10,438
11,353
0,50
2,000
4,472
6,619
0,60
1,505
2,645
4,593
0,70
1,266
1,851
3,498
0,80
1,133
1,428
2,815
0,90
1,052
1,171
2,345
1,00
1,000
1,000
2,000
1,10
0,965
0,878
1,734
1,20
0,941
0,787
1,521
1,30
0,924
0,716
1,346
1,40
0,911
0,660
1,198
1,50
0,903
0,613
1,072
1,60
0,897
0,574
0,962
1,70
0,892
0,540
0,865
1,80
0,889
0,511
0,779
1,90
0,887
0,486
0,701
2,00
0,886
0,463
0,631
2,10
0,886
0,443
0,567
2,20
0,886
0,425
0,509
2,30
0,886
0,408
0,455
2,40
0,886
0,393
0,405
2,50
0,887
0,380
0,359
2,60
0,888
0,367
0,315
2,70
0,889
0,355
0,275
2,80
0,890
0,344
0,237
2,90
0,892
0,334
0,202
3,00
0,893
0,325
0,168
3,10
0,894
0,316
0,136
3,20
0,896
0,307
0,106
3,30
0,897
0,299
0,078
3,40
0,898
0,292
0,051
3,50
0,900
0,285
0,025
3,60
0,901
0,278
0,001
3,70
0,902
0,272
-0,023
3,80
0,904
0,266
-0,045
Приложение 2
Табл. 1(продолжение)
b
Kb
gb
Pb
3,90
0,905
0,260
-0,067
4,00
0,906
0,254
-0,087
4,10
0,908
0,249
-0,107
4,20
0,909
0,244
-0,126
4,30
0,910
0,239
-0,144
4,40
0,911
0,235
-0,162
4,50
0,913
0,230
-0,178
4,60
0,914
0,226
-0,195
4,70
0,915
0,222
-0,210
4,80
0,916
0,218
-0,225
4,90
0,917
0,214
-0,240
5,00
0,918
0,210
-0,254
5,10
0,919
0,207
-0,268
5,20
0,920
0,203
-0,281
5,30
0,921
0,200
-0,294
5,40
0,922
0,197
-0,306
5,50
0,923
0,194
-0,318
5,60
0,924
0,191
-0,330
5,70
0,925
0,188
-0,341
5,80
0,926
0,185
-0,352
5,90
0,927
0,182
-0,363
6,00
0,928
0,180
-0,373
6,10
0,929
0,177
-0,383
6,20
0,929
0,175
-0,393
6,30
0,930
0,172
-0,403
6,40
0,931
0,170
-0,412
6,50
0,932
0,168
-0,421
6,60
0,933
0,165
-0,430
6,70
0,933
0,163
-0,439
6,80
0,934
0,161
-0,447
6,90
0,935
0,159
-0,455
7,00
0,935
0,157
-0,463
7,10
0,936
0,155
-0,471
7,20
0,937
0,153
-0,479
7,30
0,937
0,151
-0,486
7,40
0,938
0,150
-0,493
7,50
0,939
0,148
-0,500
7,60
0,939
0,146
-0,507
7,70
0,940
0,145
-0,514
Приложение 2
Табл. 1(продолжение)
b
Kb
gb
Pb
7,80
0,941
0,143
-0,521
7,90
0,941
0,141
-0,527
8,00
0,942
0,140
-0,534
8,10
0,942
0,138
-0,540
8,20
0,943
0,137
-0,546
8,30
0,943
0,135
-0,552
8,40
0,944
0,134
-0,558
8,50
0,944
0,132
-0,564
8,60
0,945
0,131
-0,569
8,70
0,945
0,130
-0,575
8,80
0,946
0,128
-0,580
8,90
0,946
0,127
-0,585
9,00
0,947
0,126
-0,591
9,10
0,947
0,125
-0,596
9,20
0,948
0,123
-0,601
9,30
0,948
0,122
-0,606
9,40
0,949
0,121
-0,610
9,50
0,949
0,120
-0,615
9,60
0,950
0,119
-0,620
9,70
0,950
0,118
-0,624
9,80
0,951
0,117
-0,629
9,90
0,951
0,115
-0,633
10,00
0,951
0,114
-0,638
Приложение 3
Таблица 1
Критические значения критерия К. Пирсона
Число степеней
свободы k
Значение при (1-а)
при а
0,1
0,3
0,5
0,7
0,9
0,95
0,99
0,016
0,148
0,455
1,07
2,71
3,84
6,63
0,211
0,713
1,39
2,41
4,61
5,99
9,21
0,594
1,42
2,37
3,67
6,25
7,81
11,3
1,06
2,19
3,36
4,88
7,78
9,49
13,3
1,61
3,00
4,35
6,06
9,24
11,1
15,1
2,20
3,83
5,35
7,23
10,6
12,6
16,8
2,83
4,67
5,35
8,38
12,0
14,1
18,5
3,49
5,53
7,34
9,52
13,4
15,5
20,1
4,17
6,39
8,34
10,7
14,7
16,9
21,7
4,87
7,27
9,34
11,8
16,0
18,3
23,2
5,58
8,15
10,3
12,9
17,3
19,7
24,7
6,30
9,03
11,3
14,0
18,5
21,0
26,2
7,04
9,43
12,3
15,1
19,8
22,4
27,7
7,79
10,08
13,3
16,2
21,1
23,7
29,1
8,55
11,7
14,3
17,3
22,3
25,0
30,6
9,31
12,6
15,3
18,4
23,5
26,3
32,0
10,10
13,5
16,3
19,5
24,8
27,6
33,4
10,9
14,4
17,3
20,6
26,0
28,9
34,8
11,7
15,4
18,3
21,7
27,2
30,1
36,2
12,4
16,3
19,3
22,8
28,4
31,4
37,6
13,2
17,2
20,3
23,9
29,6
32,7
38,9
14,0
18,1
21,3
24,9
30,8
33,9
40,3
14,8
19,0
22,3
26,0
32,0
35,2
41,7
15,7
19,9
23,3
27,1
33,2
36,4
43,0
16,5
20,9
24,3
28,2
34,4
37,7
44,3
17,3
21,8
25,3
29,2
35,6
38,9
45,6
18,1
22,7
23,3
30,3
36,7
40,1
47,0
18,9
23,6
27,3
31,4
37,9
41,3
48,3
19,8
24,6
28,3
32,5
39,1
42,6
49,6
20,6
25,5
29,3
33,5
40,3
43,8
50,9
Приложение 3
Таблица 2
Критические значения вероятностей Ркр критерия Пирсона
Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас...