Методики расчета основных статистических характеристик

На практике для оценки математического ожидания исполь­зуют среднее статистическое (арифметическое) значение случайной величины X, по­лученное путем деления суммы результатов наблюдений на общее число наблюдений:

Среднее статистическое значение исправного состояния определяется по формуле:

(2.1)

где n – число наблюдений (элементов выборки); x_i – результат i-го наблюдения.

Среднее арифметическое значение характеризует центр группировки значений случайной величины X и при увеличении числа наблюдений при­ближается к ее математическому ожиданию, т. е. при N→∞, X=M(x) .

Степень рассеяния значений случайной величины относительно математического ожидания характеризуется вторым параметром рас­пределения, называемым дисперсией:

Статистическая дисперсия [6,7] определяется по формуле:

но на практике, для облегчения расчетов, используют следующее соотношение:

(2.2)

Тогда среднее квадратическое отклонением:

(2.3)

Третьим параметром распределения случайной величины яв­ляется коэффициент вариации Н, представляющий собой отношение среднего квадратического отклонения к среднему арифметическому значению:

(2.4)

Коэффициент вариации так же, как и дисперсия, является мерой рассеяния случайной величины. Чем больше значение коэффициента вариации, тем больше рассеяние значений х. Перечисленные параметры характеризуют распределение значе­ний случайных величин и используются для определения вида закона распределения.

Задача 1

Время исправного состояния рулевого управления автобуса «Autosan» представляет собой случайную величину. В результате наблюдения были получены 15 значений времени исправного состояния рулевого управления автобуса «Autosan» в тыс. км пробега [1,2]:

13, 27, 19, 23, 58, 32, 39, 51, 38, 47, 33, 55, 57, 59 и 44.

Необходимо найти характеристики случайной величины исправного состояния рулевого управления автомобилей:

– среднее статистическое значение времени исправного состояния (X);

– среднее квадратическое отклонение от статического значения (S);

–коэффициент вариации (Н)

Исходные данные принять по табл.1 исходя из соотношения

где а– поправочный коэффициент

Исходные данные

Таблица 1

Пример решения

Найти оценку математического ожидания с помощью формулы (2.1):

Оценку дисперсии можно найти с помощью формулы (2.2), но на практике, для облегчения расчетов можно использовать [6,7] следующее соотношение:

Таким образом, оценку дисперсии проще найти по формуле:

Среднее квадратическое отклонение определить как корень квадратный из дисперсии:

Коэффициент вариации определить по формуле (2.4):

Интервальные оценки.