Математическая модель уравнивания сети

Для уравнивания сети рассмотрим задачу:

Рис.1.48

Пусть имеется геодезическая сеть с исходными пунктами А,В,С(рис.1.48); определяемые пункты – 1,2,3, по каждой стороне измерены приращения координат ∆x,∆y,∆z в геоцентрической системе координат; координаты пунктов А,В,С – даны в проекции Гаусса-Крюгера. Найти координаты пунктов 1,2,3, в этой же проекции

Решение:

1) Координаты исходных пунктов А,В,С перевычисляют из проекции Гаусса-Крюгера в геодезические координаты (x,y → B,L)

2) По широтам и долготам B,L и геодезическим высотам исходных пунктов Н(рис.1.49) находят прямоугольные геоцентрические координаты x,y,z.

Рис.1.49

Найденные x,y,z относятся к не системе WGS-84, а к системе СК-42 (можно вместо СК-42 принять СК-53, если x и y даны в системе СК-53). Поскольку между СК-42 и WGS-84 есть различия, то необходимо установить связь между этими системами.

Рис.1.50

Связь между ними определяется 6 элементами – тремя линейными элементами ориентирования системы С1,С2, С3(рис.1.50) и 3 угловыми элементами α₁,α₂,α₃ (углами Эйлера), седьмой элемент связи – масштабный фактор М.

Через Т обозначим систему СК-42, S - WGS-84.

Запишем уравнение связи между этими системами:

(1.51)

,где

Неизвестными элементами в данной системе являются элементы ориентирования α₁,α₂,α₃, М,с₁,с₂,с₃.

Их нужно найти для того, чтобы перевычислить измеренные приращения координат из системы WGS-84 в систему СК-42 и выполнить уравнивание всей сети в системе СК-42 или наоборот – перевычислить координаты пунктов А,В,С в систему WGS-84 и обработать всю систему в WGS-84.

В (1.51) матрица П определяется так

(1.52)

где

(1.53)

(1.54)

(1.55)

Поскольку углы Эйлера небольшие, то систему (1.51) записывают еще и так

(1.56)

В уравнении (1.51) или (1.56) 7 неизвестных. Для определения этих неизвестных нужно составить 7 и более уравнений для пунктов, координаты которых известны в обоих системах (такие пункты называются идентичными). Эта система нелинейная, ее приводят к линейномувиду – разложением в ряд Тейлора по неизвестным параметрам.

Приближенные значения неизвестных параметров принимаются такие:

На этом основании составляется линейное уравнение поправок:

+ (1.57)

Свободные члены l ₁,l₂,l₃ – это разность между координатами идентичной точки в системе S? вычисленны по приближенным значениям параметров связи и заданными. Из решения по МНК находят поправки в приближенные значения параметров и вычисляют:

По полученным параметрам перевычисляют измеренные координаты из WGS-84 в СК-42. Уравнивают сеть и вычисляют координаты пунктов 1,2,3 в системе СК-42. Далее из x,y,z переходят в B,L,H, от B,L,H переходят к x,y,Н (проекция Гаусса-Крюгера).

Замечание: поскольку измеряются приращения координат, то для преобразования значения с₁,с₂,с₃ не нужны, а только лишь α₁,α₂,α_3, М. Тогда уравнение связи по приращениям координат составляется так:

Пусть для пункта А можно записать

(1.58)

Для пункта В :

(1.59)

Для приращения координат:

(1.60)

Разложением в ряд Тейлора по неизвестным α₁,α₂,α₃,М составляют систему линейных уравнений:

(1.61)

В данном случае - вектор поправок в измеренные приращения координат, и - векторы поправок в координаты определяемых пунктов.

Если приращения координат измерены между исходными пунктами,

то уравнение (1.62) можно записать так

(1.62)

Из решения (1.62) по методу наименьших квадратов находят поправки в приближенные значения углов Эйлера и масштаба. По исправленным значениям этих величин перевычисляют измеренные приращения из WGS-84 в СК-42

(1.63)

Уравнивают сеть в СК-42, находят X,Y,Z.

По известным формулам высшей геодезии переходим из геоцентрической системы СК-42 в геодезическую. После – из геодезической системы по широтам и долготам (В,L,H) вычисляем координаты в системе Гаусса-Крюгера (x,y,h)

Нормальные высоты (высоты над уровнем моря) находят по формуле

(1.64)

где Н - высота точки над поверхностью уровенного эллипсоида, а ξ – высота геоида над эллипсоидом.