Общее уравнение динамики

Рис. 3.36

На основании принципа Даламбера справедливы равенства:

(3.45)

где – активная сила; – реакция связей; – сила инерции точки (рис. 3.36).

Умножая скалярно каждое из соотношений (3.45) на возможное перемещение точки и суммируя по всем точкам системы, получим

(3.46)

Равенство (3.46) – общее уравнение динамики для механической системы с любыми связями. Если связи идеальные, то и выражение (3.46) принимает одну из форм:

Общее уравнение динамики (объединенный принцип Даламбера–Лагранжа). В любой момент движения системы с идеальными связями сумма элементарных работ всех активных сил и сил инерции точек системы равны нулю на любом возможном перемещении системы.

Обобщенные координаты

Пусть система состоит из N точек и положение ее определяется 3N координатами точек системы (рис. 3.37). На систему наложены l

голономных двухсторонних связей, уравнения которых s=1,2,…,l.

Таким образом, 3N координат связаны l уравнениями и независимых координат будет n=3N-l.

В качестве n независимых координат можно выбрать любые независимые параметры

Независимые параметры, однозначно определяющие положение системы, называют обобщенными координатами системы.

Рис. 3.37

В общем случае они являются функциями декартовых координат точек системы:

Можно выразить декартовы координаты через обобщенные координаты:

Для радиус–вектора каждой точки системы получим

(3.47)

Если связи стационарные, то время в (3.47) явно входить не будет. Для голономных связей вектор возможного перемещения точки можно выразить в форме:

Если связи голономные, то число независимых возможных перемещений (или вариаций ) совпадает с числом независимых обобщенных координат. Следовательно, число степеней свободы голономной системы равно числу независимых обобщенных координат этой системы, т.е. n=3N-l.

Для неголономных систем в общем случае число независимых вариаций (возможных перемещений) меньше числа обобщенных координат. Поэтому число степеней свободы неголономной системы, равное числу независимых возможных перемещений, тоже меньше числа обобщенных координат системы.

Производные обобщенных координат по времени называются обобщенными скоростями и обозначаются

Обобщенные силы

Рис. 3.38

Определение обобщенных сил. Рассмотрим голономную систему из N материальных точек, имеющую n степеней свободы и находящуюся под действием системы сил (рис. 3.38). Положение системы определяется n обобщенными координатами т.е.

Вектор возможного перемещения –

(3.48)

Вычислим сумму элементарных работ сил, действующих на систему, на возможном перемещении системы:

(3.49)

Подставляя (3.48) в (3.49) и меняя порядок суммирования, получим

(3.50)

Скалярная величина называется обобщенной силой, отнесенной к обобщенной координате q_i.

Размерность обобщенной силы. Из формулы (3.50) получается размерность обобщенной силы [Q]=[A]/[q]. Если обобщенная координата имеет размерность длины, то обобщенная сила имеет размерность силы [Н], если же обобщенной координатой является угол (размерность – 1), то обобщенная сила имеет размерность момента силы [Н×м].

Вычисление обобщенных сил. 1. Обобщенную силу можно вычислить по формуле, ее определяющей:

(3.51)

где F_kx,F_yx,F_kz – проекции силы на оси координат; x_k,y_yx,z_k – координаты точки приложения силы

2. Обобщенные силы являются коэффициентами при соответствующих вариациях обобщенных координат в выражении для элементарной работы (3.50):

(3.52)

3. Если системе сообщить такое возможное перемещение, при котором изменяется только одна обобщенная координата q_j то из (3.52) имеем

Индекс q_i в числителе указывает, что сумма работ вычисляется на возможном перемещении, при котором изменяется (варьируется) только координата q_i.

4. Для потенциальных сил:

(3.53)

где – силовая функция.

Из выражения (3.51) с учетом равенств (3.53) следует,

Таким образом,

где потенциальная энергия системы.

3.5.6. Общее уравнение динамики в обобщенных силах.
Условия равновесия сил

Общее уравнение динамики (3.50)

Вектор возможного перемещения согласно (3.48) равен

С учетом этого выражения общее уравнение динамики принимает вид

Преобразуем его, поменяв порядок суммирования

(3.54)

Здесь – обобщенная сила активных сил, соответствующая обобщенной координате q_i; – обобщенная сила инерции, соответствующая обобщенной координате q_i .Тогда уравнение (3.54) принимает вид

Приращения обобщенных координат произвольны и независимые друг от друга. Поэтому коэффициенты при них в последнем уравнении должны быть равны нулю:

(3.55)

Эти уравнения эквивалентны общему уравнению динамики.

Если силы, действующие на механическую систему эквивалентны нулю, т.е. механическая система движется равномерно прямолинейно или сохраняет состояние покоя, то силы инерции ее точек равны нулю. Следовательно, обобщенные силы инерции системы равны нулю , тогда уравнения (3.55) принимают вид

(3.56)

Равенства (3.56) выражают условия равновесия сил в обобщенных силах.

В случае консервативных сил

Следовательно, условия равновесия консервативной системы сил имеют вид