Принцип Даламбера для материальной точки

Принцип Даламбера придает динамическим дифференциальным уравнениям движения вид уравнений равновесия.

Рис. 3.30

Уравнение движения материальной точки массы m относительно инерциальной системы отсчета под действием приложенных активных сил и реакций связей (рис. 3.30) имеет вид

(3.31)

Назовем силой инерции материальной точки произведение массы m точки на вектор ускорения , взятое с обратным знаком:

Тогда уравнение (3.31) можно привести к виду:

или (3.32)

Уравнение (3.32) является условием равновесия сходящейся системы сил т.е.

0. (3.33)

Условие (3.33) выражает принцип Даламбера для материальной точки.

При движении материальной точки активные силы, реакции связей и сила инерции точки образуют уравновешенную систему сил.

Принцип Даламбера для системы материальных точек

Рассмотрим систему n материальных точек (рис. 3.31). Применяя принцип Даламбера к каждой точке системы, получаем

(3.34)

где – сила инерции точки M_k.

Условие (3.34) представим в эквивалентной форме,

0; (3.35)

Принцип Даламбера для системы выражают n векторных условий (3.34) или (3.35).

При движении механической системы активная сила, реакция связей и сила инерции составляют равновесную систему сил для каждой точки системы.

Рис. 3.31

Из принципа Даламбера можно получить следствия в виде условий равновесия для сил, действующих на точки системы и сил инерции.

Просуммируем (3.34) по всем точкам системы, получим

(3.36)

Умножая векторно каждое из уравнений (3.34) слева на радиус–вектор точки и опять суммируя по точкам системы, имеем:

или (3.37)

Условия равновесия (3.36) и (3.37) являются условиями равновесия произвольной пространственной системы сил, если выразить их через проекции на координатные оси, то они дадут шесть уравнений равновесия, аналогичных уравнениям равновесия пространственной системы сил в статике.

Классифицируем силы, действующие на точки системы, как внешние и внутренние,

Тогда принцип Даламбера можно представить в другой форме:

(3.38)

Используя принцип Даламбера в форме (3.38), получим следствия в виде:

(3.39)

(3.40)

т.к. внутренние силы удовлетворяют условиям:

Теоремы о движении центра масс и изменении кинетического момента можно представить в форме:

(3.41)

(3.42)

Сравнивая (3.39) с (3.41) и (3.40) с (3.42), получаем формулы для вычисления главных вектора и момента сил инерции системы:

Методы решения задач динамики с использованием сил инерции называются кинетостатическими.

Силы инерции твердого тела в частных случаях

Его движения

При поступательном движении. Силы инерции точек составляют систему сонаправленных сил, а ускорения всех точек тела одинаковые. Такая система сил приводится к равнодействующей силе которая равна главному вектору:

Линия действия проходит через центр масс, т.к. главный момент сил инерций точек относительно центра масс равен нулю:

Рис. 3.32

При поступательном движении тело не вращается вокруг центра масс и поэтому –

При вращении вокруг неподвижной оси выберем центр приведения сил инерций точку О на оси вращения (рис. 3.32). В этой точке получаем главный вектор и главный момент сил инерции

.

Если ось вращения центральная, то т.к.

Проекции на оси координат:

и равны нулю только в том случае, если ось вращения z является главной осью инерции для точки О.

Рис. 3.33

При плоском движении, выбрав за центр приведения сил инерции центр масс (рис. 3.33), получим в этой точке главный вектор сил инерции и главный момент сил инерции .

Проекции на оси координат с началом в центре масс и движущиеся поступательно вместе с центром масс:

.

Моменты сил инерции и равны нулю, если ось является главной осью инерции для точки С.