Вынужденные колебания системы без учета сопротивления

Пусть на точки механической системы действуют потенциальные силы и силовое или кинематическое возмущение. Тогда уравнение Лагранжа примет вид

,

где .

Обобщенную силу от вынуждающих сил рассмотрим для случая, когда она изменяется по синусоидальному закону от времени

,

где H, p, d – амплитуда, круговая частота и начальная фаза возмущающей силы.

Составляем уравнение Лагранжа

.

Разделим обе части уравнения на a и обозначим .

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний без сопротивления в окончательной форме имеет вид

. (7)

Решение уравнения (7) состоит из общего решения однородного уравнения q₁ и частного решения q₂ неоднородного уравнения, то есть

.

Однородное уравнение совпадает с дифференциальным уравнением собственных колебаний. Его решение q₁ называют собственным колебанием системы, и оно может быть выражено в двух эквивалентных формах

.

Часть решения, характеризуемая функцией q₂, называется вынужденным колебанием системы.

Функция q₂ определяется по–разному в зависимости от соотношения частот собственных колебаний k и возмущающей силы p.

Возможны два случая: отсутствие резонанса и резонанс . Рассмотрим их.

1. Случай отсутствия резонанса ( ). Частное решение q₂ ищем в форме правой части уравнения (7)

.

Определяем постоянную В из условия, что q₂ превращает уравнение (7) в тождество:

Так как равен нулю не для всех значений t, то

.

Отсюда получаем . Тогда вынужденные колебания можно записать в виде

.

Таким образом, обобщенные координата и скорость имеют вид:

;

.

Или в амплитудной форме:

;

.

Постоянные С₁ и С₂ или А₁ и a определяются из начальных условий: .

Амплитуда А₁ и начальная фаза a собственных колебаний при действии возмущающей силы зависят не только от начальных условий, но и от параметров этой силы.

Введем амплитуду вынужденных колебаний

.

Тогда в зависимости от соотношения p и k вынужденные колебания можно выразить в двух формах.

A. При p < k:

фаза вынужденных колебаний совпадает с фазой возмущающей силы.

B. При p > k:

сдвиг фаз равен p, вынужденные колебания находятся в противоположной фазе по отношению к возмущающей силе.

Итак, вынужденные колебания системы без сопротивления при являются гармоническими колебаниями с постоянной амплитудой. Их частота совпадает с частотой возмущающей силы. Они не зависят от начальных условий.

2. Случай резонанса .

Резонансом называется случай совпадения частот собственных колебаний и возмущающей силы, т.е. когда .

Частное решение q₂ уравнения (7) следует искать в форме

.

Постоянная В определяется из условия, что q₂ обращает уравнение (7) в тождество. Проведя вычисления, аналогичные предыдущему случаю, по/им . Вынужденные колебания, теперь, выразятся в виде

.

Главной особенностью вынужденных колебаний при резонансе является зависимость их амплитуды от времени:

.

Амплитуда увеличивается пропорционально времени, сдвиг фазы равен p/2. Круговая частота вынужденных колебаний совпадает с круговой частотой возмущающей силы.

Рис. 5

Графиком вынужденных колебаний при резонансе является синусоида, заключенная между двумя прямыми:

и ,

проходящими через точку q₂=0 и t=0, рис. 5.

Рассмотренный случай резонанса практически не встречается, так как при движении системы всегда есть силы сопротивления движению. Однако амплитуды при резонансе достигают большого роста, что может приводить к разрушению механизма, установки, сооружения.