Свойства средней арифметической величины и их практическое использование

Наиболее распространённым видом средних величин является средняя арифметическая. Она обладает рядом математических свойств, значение которых не только позволяет понять сущность средних, но и позволяет упростить расчёт средней величины (особенно в тех случаях, когда значения признака имеют достаточно громоздкий вид).

К основным математическим свойствам средней величины относятся следующие:

1. Произведение средней величины на сумму всех частот равно сумме произведений индивидуальных значений признака на соответствующие частоты (свойство вытекает из формулы ):

. (5.13)

2. Сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней величины равна 0:

− для несгруппированных данных;

− для сгруппированных данных.

3. Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней величины меньше суммы квадратов их отклонений от любой другой постоянной величины (х₀):

− для несгруппированных данных;

− для сгруппированных данных.

4. Средняя арифметическая суммы варьирующих величин равна сумме средних арифметических этих величин:

если x_i = y_i + z_i, то .

Доказательство:

. (5.14)

5. Если все варианты ряда уменьшить (увеличить) в А раз, то средняя уменьшается (увеличивается) в А раз.

Это означает, что можно исчислять как либо .

6. Если все варианты ряда уменьшить (увеличить) на одно и то же число х₀, то и средняя величина уменьшиться (увеличиться) на х₀, то есть может быть рассчитана как либо .

7. Если все частоты ряда разделить (умножить) на одно и то же число b, то средняя не изменится, то есть может быть рассчитана как либо как

Последние три свойства из перечисленных могут использоваться одновременно для упрощения расчетов, и тогда считается, что средняя рассчитывается по «способу моментов» или «методом отсчета от условного нуля». В данном случае важен факт правильного выбора А (чаще всего это величина интервала) и х₀ (чаще всего это середина какого-либо интервала).

Исчисление средней по «способу моментов» производится по формуле, вид которой меняется в зависимости от порядка применения свойств:

(5.15)

либо

и т.д.

Независимо от того, применяются либо не применяются свойства средней величины, результат расчета средней остается неизменным.

Например, необходимо определить среднюю заработную плату работников организации, в т.ч. по «способу моментов».

Таблица 5.9 – Расчет средней заработной платы

ЗП, тыс. руб., х	Число раб-ков, f	x	xf	x-x0 (x0=1300)	(A=200)	(b=20)
800 − 1000 1000 −1200 1200 −1400 1400 −1600 1600 −1800 1800 − 2000				-400 -200	-2 -1		-2 -4
	Σf=400		Σ xf=			Σ =20	Σ =5

Без использования свойств средней величины:

С использованием свойств средней величины: