Мода и медиана, способы их вычисления и сфера применения

Мода и медиана относятся к структурным средним и применяются для изучения внутреннего строения рядов распределения признака.

Мода (µ₀) − это наиболее часто встречающаяся величина признака в вариационном ряду.

Например, стаж работы, лет, Х: 5, 2,10,15, 2, 5, 7, 8, 5. µ ₀ = 5.

В дискретном ряду моду будет представлять то значение признака (та варианта), которое имеет наибольшую частоту.

Например, какое число детей в семье встречается наиболее часто:

Число детей	х		1
Число семей	f		fmax

µ _о = 1.

Для расчета моды в интервальном ряду вначале определяется модальный интервал, т.е. интервал, имеющий наибольшую частоту. Затем рассчитывают моду по формуле

(5.16)

где − начальная граница модального интервала,

− ширина модального интервала,

− частота модального интервала,

− частота интервала, предшествующего модальному,

− частота интервала, следующего за модальным.

Например, определить, с какой численностью работающих чаще всего встречаются предприятия (организации) в данной отрасли.

Таблица 5.10 – Группировка предприятий по числу работающих

Группы предприятий по числу работающих	Количество предприятий в группе
x	f
500 −1000 1000 −1500 1500 − 2000		-модальный интервал
2000 − 2500 2500 − 3000
Всего

Следовательно, мода в характеристике рядов распределения указывает то значение, которое встречается чаще других. Она может быть определена с помощью полигона: самая высокая точка полигона указывает на оси абсцисс (х) то значение, которое является модой.

При определении моды в интервальном ряду графическим способом на гистограмме внутри прямоугольника с наибольшей частотой проводят две линии:

1 − соединяет его правый верхний угол с правым верхним углом предшествующего столбика.

2 − соединяет его левый верхний угол с левым верхним углом следующего.

Абсцисса их точки пересечения и есть мода.

Рисунок 5.1 – Определение моды в интервальном ряду графическим способом

Медиана (µ_е) – это величина варьирующего признака, которая находится в середине ранжированного ряда.

Например, стаж работы, лет (х): 5, 2, 10, 15, 2, 5, 7, 8, 5.

Вначале ранжируем ряд:

х: 2, 2, 5, 5, 5, 7, 8, 10, 15

µ_е = 5

Т.е. медиана делит ряд на 2 части, равные по численности. Половина значений меньше (либо равны) медианы, а вторая – больше (либо равны). Если ряд состоит из нечетного количества уровней (вариант), то порядковый номер медианы в ранжированном ряду:

В нашем примере

Если же ряд состоит из четного количества уровней, то медиана определяется как средняя арифметическая из варианты под и варианты .

Например, х, 2, 2, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 10, 10, 15, 18

, x ₆ = 5; , x₇ = 7.

Следовательно, в данном случае:

При определении медианы в дискретном ряду используют способ накопления частот. Частоты накапливают до тех пор, пока сумма накопленных частот (S_µe) не будет равна или больше половины суммы всех частот (Σf). Последняя накопленная частота и будет указывать то значение признака, которое является медианой.

Например, определить медиану заработной платы работников.

Таблица 5.11 – Определение медианы в дискретном ряду

ЗП, тыс. руб.	Число работников, чел.	Sµе
х	f
	16
	Σf = 40

µ_e = 600 тыс.руб.

В случае, если сумма накопленных частот составила ровно половину всех частот, медиана определяется как средняя из данного уровня и следующего за ним.

Таблица 5.12 – Определение медианы в дискретном ряду

ЗП, тыс. руб.	Число работников, чел.	Sµе
х	f
	12
	Σf = 40

Для определения медианы в интервальном ряду вначале с помощью суммы накопленных частот определяют медианный интервал, а затем рассчитывают медиану по формуле

(5.17)

где Х_µе − начальная граница медианного интервала;

i_µe − ширина медианного интервала;

f_µe − частота медианного интервала;

S_µe-1 − сумма накопленных частот интервала, предшествующего медианному.

Например, определить медиану численности работников предприятия (организации).

Таблица 5.13 – Исходные данные для расчета медианы численности работников

Для графического определения медианы используют кумуляту: последнюю ординату кумуляты делят пополам и через полученную точку проводят прямую параллельную оси абсцисс. Абсцисса точки пересечения этой прямой с кумулятой и есть медиана.

Рисунок 5.2 – Определение медианы графическим способом