ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ

Информация была взята с сайта: http://www.spbgasu.ru/

ПРЯМАЯ. ПЛОСКОСТЬ

Задача № 1.1. Разделить отрезок АВ точкой С в отношении

Рис. 1

Так как делению отрезка в каком-либо отношении соответствует такое же деление его проекций, то делим проекцию А₁В₁(можно было бы начать и с фронтальной проекции) на 5 частей. Для этого через точку А₁ проводим произвольную прямую и откладываем на ней пять каких-либо равных между собой отрезков. Точку 5 соединяем с точкой В₁.Через точку 3 проводим прямую, параллельную прямой В₁-5 до пересечения с А₁В₁в точке С₁. По точке С₁строим проекцию С₂. В точке С отрезок АВ разделен в отношении 3 : 2, считая от точки А.

Задача№ 1.2. Найти недостающую проекциюточкиК, лежащей на прямой (АВ).

Рис. 2

Чтобы построить горизонтальную проекцию К₁ точки К, принадлежащей профильной прямой (АВ), следует воспользоваться свойством операции проецирования - отношение длин отрезков, лежащих на одной и той же прямой или на параллельных прямых, равно отношению длин проекций этих отрезков. На основании этого свойства точка К будет принадлежать прямой (АВ), если её проекции К₁ и К₂ будут делить отрезки А₁В₁ и А₂В₂ в одинаковом отношении. Горизонтальная проекция точки К определена с помощью прямой А₀В₀, при построении которой прямые А₂А₀ ççВ₂В₀ ççК₂К₀ и А₁А₀ ççВ₁В₀ ççК₀К₁ проведены произвольно.

Задача № 1.3. Через точку К (К₁, К₂) провести горизонталь h (h₁, h₂) под углом 30° к плоскости проекций П₂ и фронталь f (f₁, f₂) под углом 45° к плоскости проекций П₁.

Рис. 3

Так как все точки прямой h находятся на одинаковом расстоянии от плоскости П₁, то на эпюре фронтальная проекция h₂ параллельна оси Х₁₂ и проходит через точку К₂, а горизонтальная проекция h₁ через точку К₁ и составляет с осью Х₁₂ угол 30°.

Фронталь f параллельна плоскости проекций П₂, следовательно на эпюре горизонтальная проекция f₁ фронтали f параллельна оси Х₁₂ и проходит через точку К₁, фронтальная проекция f₂ фронтали f проходит через точку К₂ и составляет с осью проекций Х₁₂ угол 45°.

Задача № 1.4. Через точку К (К₁, К₂) провести прямую n параллельно прямой m (m₁, m₂).

Рис. 4

Проекции параллельных прямых на любую плоскость (не перпендикулярную данным прямым) - параллельны. Это свойство параллельного проецирования остается справедливым и для ортогональных проекций, т.е. если n ççm, то n₁ççm₁ и n₂ ççm₂ и горизонтальная проекция прямой n₁ проходит через горизонтальную проекцию К₁ точки К, а фронтальная проекция прямой n₂ проходит через К₂ точки К и n₂ ççm₂.

Задача № 1.5. Найти недостающие проекции точек М, К, N, лежащих в плоскости α, заданной треугольником АВС.

Рис. 5

Известно, что если точка принадлежит плоскости, то она принадлежит какой-либо прямой этой плоскости. Поэтому точку М₂ находим на фронтальной проекции А₂В₂ отрезка АВ на одной линии связи с точкой М₁. Для построения точки К₁ через точки А₂ и К₂ проводим фронтальную проекцию вспомогательной прямой l, лежащей в данной плоскости. Получив точку 1_2, находим точку 1₁ на проекции В₁С₁. Теперь проводим прямую из точки А₁ через точку 1₁ и на этой прямой находим горизонтальную проекцию точки К. Аналогично строится точка N₂ с помощью вспомогательной прямой m (m₁m₂), принадлежащей плоскости a.

Задача № 1.6. Построить недостающую проекцию А₂В₂С₂ треугольника АВС, лежащего в плоскости a (h Ç f).

Рис. 6

Чтобы построить фронтальную проекцию треугольника АВС, надо найти фронтальные проекции точек А, В и С. Проекцию А₂ находим по линии связи на f₂ (фронтальной проекции фронтали f), проекцию В₂ строим с помощью горизонтали α, проведенной в плоскости. Сначала проводим проекции α₁ параллельно h₁ через точку В₁, затем через точку А₂ - фронтальную проекцию горизонтали α₂ параллельно оси Х₁₂ и на ней находим проекцию В₂. Фронтальную проекцию точки С находим при помощи фронтали b, хотя конечно, можно было бы и для этой точки применить горизонталь. Через точку С₁ проводим горизонтальную проекцию b₁ фронтали b параллельно оси Х₁₂, находим точки 1₁ и 1_2.. Фронтальная проекция b₂ фронтали b проходит через точку 1₂ параллельно f₂; на этой проекции получаем точку С₂. Искомая проекция треугольника АВС определяется точками А₂, В₂ и С₂.

Задача № 1.7. Определить в плоскости a(аççb) точку А, расположенную на расстоянии 15 мм от плоскости П₁ и 25 мм от плоскости П₂.

Рис. 7

Для построения точки А, расположенной в плоскости a на определенном расстоянии от плоскостей П₁ и П₂, необходимо в плоскости провести горизонталь h на расстоянии 15 мм от плоскости проекций П₁ и на расстоянии 25 мм от плоскости проекций П₂ построить фронталь f . На пересечении горизонтали h и фронтали f находим искомую точку А. На эпюре проводим фронтальную проекцию h₂ горизонтали h на расстоянии 15 мм от оси проекций Х₁₂. Отмечаем точки 1₂ и 2₂ на проекциях а₂ и b₂ и находим проекции 1₁ и 2₁ на а1 и b₁. Горизонтальная проекция h₁ горизонтали h проходит через точки 1₁ и 2₁. Затем построим горизонтальную проекцию f₁ фронтали f на расстоянии 25 мм от оси Х₁₂. Отмечаем точку пересечения прямой h₁ с прямой f₁ в точке А₁, а точка А₂ строится по линии связи на прямой h₂.

Задача № 1.8. Через точку А (А₁А₂) провести горизонтально проецирующую плоскость a и фронтально проецирующую плоскость β, параллельные прямой l.

Рис. 8

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна одной из прямых, лежащих в этой плоскости.

Чтобы построить искомые плоскости a и β через точку А, так чтобы эти плоскости были параллельны прямой l, сначала через точку А надо провести прямую m параллельно прямой l; на эпюре m₁ строится через точку А₁ параллельно l₁, а m₂ проводится через точку А₂ параллельно l₂. Затем заключаем прямую m в горизонтально проецирующую плоскость a; на эпюре a₁ и горизонтальная проекция плоскости a совпадёт с горизонтальной проекцией m₁ прямой m. А чтобы заключить прямую m во фронтально-проецирующую плоскость β на эпюре β₂ - фронтальная проекция плоскости β совпадет с фронтальной проекцией m₂ прямой m.

Решения типовых задач приведены на с.8.

Условия задач

Графические условия задач приведены на с. 10… 13.

1. Через точку А провести плоскость, заданную линии уровня.

2. Через точку А провести прямую l, параллельную прямой р.

3. Через точку А провести горизонталь, пересекающую данную прямую р.

4. Через точку А, фронтальная проекция которой А₂ задана, провести прямую n, лежащую в плоскости a(mççl) и параллельную прямым m и l.

5. Построить точку С, которая делит отрезок АВ в отношении АС : СВ = 1:2, и через эту точку провести прямую l, параллельную прямой а.

6. В плоскости a(аÇb) построить точку А, удаленную от плоскости П₁ на расстояние 20 мм и от плоскости П₂ - на 45 мм.

7. Через точку А провести прямую l, параллельную прямой р.

8. Через точку А провести прямую l, параллельную прямой р.

9. Через точку А провести горизонталь и фронталь, пересекающие данную прямую l.

10. В плоскости a(аÇb) построить точку А, удаленную от плоскостей П₁ и П₂ на расстояние 30 мм.

11. Через точку А провести горизонталь h и фронталь f.

12. В плоскости a(l ççm) построить точку А, удаленную от плоскости П₁ на расстояние 20 мм и от плоскости П₂ - на 15 мм.

13. Достроить фронтальную проекцию плоской фигуры.

14. В плоскости a (АВС) провести горизонталь, отстоящую от плоскости П₁ на 25 мм.

15. В плоскости a(а ççb) построить точку А, удаленную от плоскостей П₁ и П₂ на расстояние 25 мм.

16. Через точку В провести фронталь, пересекающую данную прямую р.

17. В плоскости a (D АВС) достроить проекции точек К, М, l, проекции которых К₂, М₂, l₁ заданы.

18. Достроить фронтальную проекцию плоской фигуры АВСDEF.

19. В плоскости a(а ççb) построить точки А и В, если заданы проекции А₂ и В₁

20. В плоскости a(lÇm) построить отрезок АВ, проекции А₁ и В₂ концов которого заданы.

21. В плоскости a(l, L) построить отрезок АВ, проекции А₁ и В₂ концов которого заданы.

22. Определить, принадлежит ли точка К плоскости a (АВС).

23. Определить, лежат ли параллельные прямые l, m, n в одной плоскости.

24. Достроить горизонтальную проекцию плоскостей фигуры АВСDE.

25. В плоскости a (D АВС) построить горизонталь h (h₁, h₂) через точку А и фрон- таль f(f₁, f₂) через точку В.

26. В плоскости a(АВС) провести горизонталь, отстоящую от плоскости П₁ на 20 мм.

27. В плоскости a(f Çh) построить отрезок АВ, горизонтальная проекция которого задана.

28. В плоскости a(h Çf) построить DАВС, горизонтальная проекция которого задана

29. В плоскости a(АВС) провести фронталь, отстоящую от плоскости П₁ на 30 мм.

30. Достроить фронтальную проекцию плоской фигуры.

31. В плоскости a(l ççm) построить отрезок АВ (А₁В₁), фронтальная проекция ко- торого задана.

32. В плоскости a(h Çf) построить DАВС (DА₁В₁С₁), фронтальная проекция которого задана.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ

Задача № 2.1. Построить дополнительную ортогональную проекцию прямой l на плоскости, параллельной этой прямой.

Рис. 9

Для решения задач взята новая плоскость проекций П₄, отвечающая двум условиям: П₄ ^ П₁ и П₄ ççl. На эпюре новая ось Х₁₄ проведена параллельно l₁. Чтобы построить дополнительную ортогональную проекцию l₄ прямой l, отметим на этой прямой две точки, например 1 и 2, и построим их дополнительные проекции 1₄ и 2₄.

Задача № 2.2. Построить дополнительную ортогональную проекцию прямой l на плоскости, перпендикулярной этой прямой. Другими словами, в новой системе прямая l должна стать проецирующей.

Рис. 10

Преобразование одной из проекций прямой l общего положения в точку требует двух дополнительных плоскостей проекций, так как в системе П₂/П₁ плоскость, перпендикулярная l, не будет ортогональной ни к плоскости П₂, ни к плоскости П₁.

При переходе от системы П₁/П₂ к системе П₁/П₄ плоскость П₄ располагают перпендикулярно П₁ и параллельно прямой l, т.е. решают первую задачу, рассмотренную выше.

При введении второй новой плоскости П₅, её располагают перпендикулярно прямой l . Этим самым будет обеспечено условие ортогональности П₄/П₅. Ось Х₄₅ построена перпендикулярно l₄. На плоскости П₅ прямая l изобразится точкой. Итак, в системе П₄/П₅ прямая l стала проецирующей относительно плоскости П₅.