Вычитание двоичных чисел

Вычитание выполняется поразрядно столбиком, начиная с младшего разряда и используя таблицы двоичного вычитания:

0 – 0 = 0

1 – 0 = 1

1 – 1 = 0

10 – 1 = 1

Умножение двоичных чисел.

Умножение в двоичной системе производится по тому же принципу что и в десятичной системе счисления, при этом используется таблица двоичного умножения:

0 * 0 = 0

0 * 1 = 0

1 * 0 = 0

1 * 1 = 1 .

Деление двоичных чисел.

Деление в двоичной системе производится вычитанием делителя со сдвигом вправо, если остаток больше нуля.

Восьмеричная система счисления.

В этой системе счисления 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Чтобы перевести в двоичную систему, например, число 611 (восьмеричное), надо заменить каждую цифру эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр). Легко догадаться, что для перевода многозначного двоичного числа в восьмиричную систему нужно разбить его на триады справа налево и заменить каждую триаду соответствующей восьмеричной цифрой.

Перевод в двоичную

0₈ = 000₂

1₈ = 001₂

2₈ = 010₂

3₈ = 011₂

4₈ = 100₂

5₈ = 101₂

6₈ = 110₂

7₈ = 111₂

 

Перевод в десятичную

 

563₈ = 5*8² + 6*8¹ + 3*8⁰ = 512+ 40 + 7 = 371₁₀

Перевод из восьмеричной в десятичную

 

371₁₀= 563₈

 

 

Шестнадцатеричная система счисления.

Запись числа в восьмеричной системе счисления достаточно компактна, но еще компактнее она получается в шестнадцатеричной системе. В качестве первых 10 из 16 шестнадцатеричных цифр взяты привычные цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а вот в качестве остальных 6 цифр используют первые буквы латинского алфавита: A, B, C, D, E, F.Перевод из шестнадцатеричной системы в двоичную и обратно производится аналогочно тому, как это делается для восьмеричной системы.

Перевод в двоичную

173₁₆ = 101110011₂

Перевод в десятичную

173₁₆ = 1*16² + 7*16¹ + 3*16⁰ = 256 + 112 + 3 = 371₁₀

Перевод из шестнадцатеричной в десятичную

371₁₀= 173₁₆

 

Двоично-десятичная система представления чисел.

Поскольку человеку наиболее привычны представление и арифметика в десятичной системе счисления, а для компьютера - двоичное представление и двоичная арифметика, была введена компромиссная система двоично-десятичной записи чисел. Такая система чаще всего применяется там, где существует необходимость частого использования процедуры десятичного ввода-вывода. (электронные часы, калькуляторы, АОНы, и т.д.). В таких устройсвах не всегда целесообразно предусматривать универсальный микрокод перевода двоичных чисел в десятичные и обратно по причине небольшого объема программной памяти.

Принцип построения этой системы достаточно прост: каждая десятичная цифра преобразуется прямо в свой десятичный эквивалент из 4 бит, например:

369110=0011 0110 1001 0001DEC:

Десятичное число
Двоично-десятичное число

Преобразуем двоично-десятичное число 1000 0000 0111 0010 в его десятичный эквивалент.
Каждая группа из 4 бит преобразуется в её десятичный эквивалент.

Получим 1000 0000 0111 0010DEC = 807210:

Двоично-десятичное число
Десятичное число

Микропроцессоры используют чистые двоичные числа, однако понимают и команды преобразования в двоично-десятичную запись. Полученные двоично-десятичные числа легко представимы в десятичной записи, более понятной людям.

Перевод чисел из одной системы в другую.

См. в вопросах 44-48

50.Алгебра логики.

Основой проектирования цифровых схем вычислительной техники является алгебра логики. Связь между входными и выходными величинами устройства задается логической функцией, таблицей истинности или логическим уравнением.
Логические функции. Любое логическое выражение, составленное из п переменных xn,xn-1... X1 с помощью конечного числа операций алгебры логики, можно рассматривать как некоторую функцию п переменных. Такую функцию называют логической. В соответствии с аксиомами алгебры логики функция может принимать в зависимости от значения переменных значение 0 или 1. Функция п логических переменных может быть определена для 2" значений переменных, соответствующих всем возможным значениям п-разряд-ных двоичных чисел. Основной интерес представляют следующие функции двух переменных х и у:

- логическое умножение (конъюнкция),

- логическое сложение (дизъюнкция),

- логическое умножение с инверсией,

- логическое сложение с инверсией,

— суммирование по модулю 2,

- равнозначность.
Таблица истинности. Так как область определения любой функции п переменных конечна (2n значений), такая функция может быть задана таблицей значений f(Vi), которые она принимает в точках Vi, где i= 0,1. -.2n—1. Такие таблицы называют таблицами истинности. В таблице 12.1 представлены таблицы истинности, задающие указанные выше функции.
Таблица 12.1

i	Значения переменных	функции
	X	У	fl	f2	f3	f4	f5	f6
		о	о
			о
		о	о

51.Для реализации этих функций используются логические устройства, которые бывают КомбинационныеиПоследовательные.

Устройство называют комбинационным, если его выходные сигналы в некоторый момент времени однозначно определяются входными сигналами, имеющими место в этот момент времени.Комбинационные цифровые устройства (КЦУ) не содержат элементов памяти. Простейшим КЦУ является конъюнктор.

Цифровое устройство называется последовательным(ПЦУ), если сигналы на его выходе зависят не только от текущих значений входных сигналов, но и от состояния цифрового устройства (т.е. от предыдущих входных сигналов). В ПЦУ обязательно должны входить ячейки памяти. Ячейка памятиТ под воздействием входного сигнала изменяет своё состояние (0 или 1).

52.

53.

54.

55, 56:

Сумматор – функциональный узел, выполняющий сложение двоичных чисел. Простейший сумматор – полусумматор (halfsummater) – HS.

Сумматор отличается от полусумматора тем, что на его дополнительный вход поступает сигнал переноса от его предыдущего разряда сумматора. Сумматор характеризуется разрядностью:

-Однаразрядные сумматоры

- Двухразрядные сумматоры

- Четырехразрядные сумматоры.

57.Для того чтобы получить многоразрядный сумматор, достаточно соединить входы и выходы переносов соответствующих двоичных разрядов. Схема соединения одноразрядных сумматоров для реализации четырехразрядного сумматора приведена на рисунке 10.

58. Преобразователи кодов (converter) предназначены для преобразования цифровой информации. На схемах преобразователи обозначаются буквами X / Y , в сериях отечественных ИМС – ПР. Интегральная микросхема ПР6 преобразует двоично-десятичный код в двоичный, ИМС ПР7 преобразует двоичный код в двоично-десятичный.

Рассмотрим преобразователь двоично-десятичного кода в специальный семиразрядный код индикатора. Подсветка каждого сегмента цифрового индикатора, образующих цифры 0…9 (рис.7.5,а), производится подачей на них единичного сигнала, вызывая свечение сегментов в определенных комбинациях.

Рисунок 7.5 – Цифровой семисегментный индикатор

59.Семисегме́нтныйиндика́тор — устройство отображения цифровой информации. Это — наиболее простая реализация индикатора, который может отображать арабские цифры. Для отображения букв используются более сложные многосегментные и матричные индикаторы.
Пример:

Принцип работы (простым языком!!!)

Семисегментный индикатор — это просто набор обычных светодиодов в одном корпусе. Просто они выложены восьмёркой и имеют форму палочки-сегмента. Можно подключить его напрямую к Arduino, но тогда будет занято 7 контактов, а в программе будет необходимо реализовать алгоритм преобразования числа из двоичного представления в соответствующие «калькуляторному шрифту» сигналы.

Для упрощения этой задачи существует 7-сегментный драйвер. Это простая микросхема с внутренним счётчиком. У неё есть 7 выходов для подключения всех сегментов (a, b, c, d, e, f, g pins), контакт для сбрасывания счётчика в 0 (resetpin) и контакт для увеличения значения на единицу (clockpin). Значение внутреннего счётчика преобразуется в сигналы (включен / выключен) на контакты a-g так, что мы видим соответствующую арабскую цифру.

На микросхеме есть ещё один выход, обозначенный как «÷10». Его значение всё время LOW за исключением момента переполнения, когда значение счётчика равно 9, а его увеличивают на единицу. В этом случае значением счётчика снова становится 0, но выход «÷10» становится HIGH до момента следующего инкремента. Его можно соединить с clockpin другого драйвера и таким образом получить счётчик для двузначных чисел. Продолжая эту цепочку, можно выводить сколь угодно длинные числа.

Микросхема может работать на частоте до 16 МГц, т.е. она будет фиксировать изменения на clockpin даже если они будут происходить 16 миллионов раз в секунду. На той же частоте работает Arduino, и это удобно: для вывода определённого числа достаточно сбросить счётчик в 0 и быстро инкрементировать значение по единице до заданного. Глазу это не заметно.

60.
Преобразователи кодов служат для перевода одной формы числа в другую. Их входные и выходные переменные однозначно связаны между собой. Эту связь можно задать таблицами переключений или логическими функциями.
Подавая управляющее напряжение на отдельные элементы индикатора и вызывая его свечение (светодиодные индикаторы) или изменяя его окраску (жидкокристаллические индикаторы), можно получить изображение десятичных цифр 0, 1,..., 9. О конкретных типах семисегментных индикаторов я расскажу дальше. Преобразование двоично-десятичного кода в код семисегментногоиндиктора показано в таблице. Цоколёвка некоторых микросхем – преобразователей кода 8421 в семисегментный показана на рисунок.

61-65. Дискретная (цифровая) обработка сигналов позволяет существенно снизить требования по искажениям сигналов к устройствам приема и передачи.

В дискретной (или цифровой) обработке сообщений и сигналов

любое непрерывное колебание и (t) (см. рис. 8.1, а) (сообщение, сигнал, помеха) может быть заменено последовательностью чисел. В простейшем случае этой последовательностью могут быть мгновенные (выбороч­ные) значения (рис. 8.1, б). Такая замена называетсядискретизацией по времени.

Однако можно пойти дальше и заменить каждое выборочное значение (которое может быть любым в некоторых пределах) целым числом условных единиц - квантов (рис. 8.1, в). Эта операция называется квантованием по уровню.

Квантованные по уровню дискретные числа можно выразить в двоичной системе счисления и представить последовательностью им­пульсови пауз или положительных и отрицательных импуль­сов, как показано на рис. 8.1, г. Так, квантованное значение и (0) равно шести (рис. 8.1, в), в двоичной системе его можно представить как 00110, чему соответствует последователь­ность отрицательных (соответствующих нулю) и положитель­ных (соответствующих единице) импульсов. Аналогично, на­пример, u(5) = 20, а в двоичной записи - 10100. Полученная таким образом последовательность импульсов есть цифровое бинарное представлениенепрерывного колебания.

Цифровые системы обладают двумя важными свойства­ми: они более помехоустойчивы и не требуют высокой линей­ности усилителей и любых преобразователей. Оба свойства следуют из того, что при передаче импульсов важно не со­хранить строгоих форму (как при передаче, например, непре­рывного сообщения от микрофона), а лишь правильно пере­дать сам факт наличия(или отсутствия) импульсов, что можно сделать проще и надежнее. Однако эти свойства дискретных систем «покупаются» необходимостью расшире­ния полосы занимаемых частот (вспомним, что полоса сигна­ла обратно пропорциональна длительности импульсов).

Рисунок 8.1 – Преобразование непрерывного сообщения в цифровое

 

В соответствии с теоремой отсчетов (теоремой В.А. Котельникова) для адекватного (полного) представления аналогового сигнала дискретным необходимо, чтобы частота от­счетов (дискретизации) f_d, равная 1/T, где Т - интервал дискретиза­ции, была, по крайней мере, в 2 раза больше наивысшей частоты f_m, содержащейся в спектре дискретизируемого сигнала. При выполнении этого условия, исходный аналоговый сигнал может быть просто восстановлен путем пропуска­ния дискретизированного сигнала через фильтр нижних частот, про­пускающий все частоты ниже f_m. Диапазон частот от 0 до f_m представ­ляет собой ширину спектра исходного сигнала, которую будем обозна­чать Δf. Следовательно, в нашем случае Δf =f_m. Таким образом, час­тота дискретизации должна выбираться из условия f_d > 2Δf.

Следующим шагом является постановка в соответствие каждому значению отсчета сигнала одного из конечных значений уровней ам­плитуды сигнала (т. е. квантование сигнала по уровню). В принципе амплитуда отсчета может принимать любое значение из непрерывного интервала изменений дискретизируемого сигнала. Необходимо, одна­ко, помнить, что на практике всегда имеют место случайные флуктуа­ции (шумы), которые накладываются на интересующее нас колебание, отображающее сигнал. Это так называемый системный шум, который делает бесполезными попытки обнаружить разность между двумя уров­нями сигнала, если она по величине соизмерима со среднеквадратическим значением шума. В действительности, именно отношение максимальной величины сигнала (Аs) к среднеквадратическому зна­чению шума (A_N) и определяет число уровней квантования, которое необходимо для достаточно точного представления исходного сигнала. Пусть число уровней квантования равно т. Тогда каждый отсчет сиг­нала потребует для своего кодирования N двоичных цифр. При декодировании полученного цифрового сигнала и восстановлении исходного аналогового сигнала возникают ошибки, обусловленные квантованием. Они приводят к появлению дополнитель­ного шума, известного как шум квантования. Можно показать, чтошум квантования сравним по величине или меньше исходного шума квантуемого сигнала при условии, что число уровней квантования больше, чем [1 + (Аs/А_N)²]^1/2- Таким образом, чтобы представить исходный аналоговый сигнал, занимающий полосу частотΔf (Гц) и имеющий динамический диапазон Аs/А_N , в цифровом виде, потре­буется минимум В двоичных цифр в секунду (бит/с), где

B=2Δf log₂ = log₂ [1+(A_s/A_n )²] (8.1)

На полученный результат можно посмотреть и с иной стороны. Говорят, что канал связи обладает информационной пропускной спо­собностью В (бит/с), если он способен передавать аналоговый сигнал, занимающий полосу частот Δf, и поддерживать на выходе приемника (где отношение сигнал-шум наименьшее) отношение пикового значе­ния сигнала к среднеквадратичному значению шума, равное А_S /А_N. В этом случае величина В также определяется по формуле (8.1),известной как формула Шеннона.

В качестве примера рассмотрим теперь количество информации, со­держащееся в такой привычной для нас форме ее представления, как книга и звуковой сигнал.

Для оценки количества информации принята единица измерения информации – бит (сокращение двух слов «binary digit – двоичное число).

Количество информации I, получаемое при достоверном приеме сообщения о событии, вероятность которого P, равно:

 

I=log₂1/P (8.2)

При передаче сообщения о событии, имеющем два равновероятных исхода (P=1/2), количество информации равно единице.

Таким образом, один бит – это количество информации позволяющее произвести выбор одной величины из двух равновероятных.

Последовательность из 8 бит, рассматриваемая как один элемент данных или памяти, называется байт.

Рассмотрим книгу объемом 100 000 слов, содержащую, например, 250 страниц, причем допустим, что каждое слово состоит в среднем из пяти букв. При использовании для преобразования тек­ста в цифровую форму наиболее широко используемого кода ASС II, каждая буква кодируется семью двоичными цифрами. Таким обра­зом, на каждую букву приходится 2⁷ =128 бит, причем учитываются все строчные и прописные буквы, цифры, промежутки между словами и знаки препинания. Тогда общий объем содержащейся в книге инфор­мации составит 3,5 Мбит.

Звуковой канал. Для обеспечения разборчивости речи требуется полоса частот около 3 кГц, лежащая в диапазоне от 300 Гц до 3,4 кГц для обычной стандартной телефонной сети. При этом резуль­тирующее отношение сигнал-шум должно быть более 30 дБ (A_S /A_N =31,6)

Воспользовавшись теоремой Котельникова и формулой Шеннона, полу­чим значение скорости передачи информации, равное 30 кбит/с, при условии, что минимальная частота дискретизации составляет в 6 кГц, а каждая выборка кодируется, по крайней мере, 5-разрядным словом.

 

66. Диапазоны радиоволн, их характеристики распространения. Длина волны и частота.

К радиоволнам относят электромагнитные волны с длиной >5*10^-5 м, т. е. с частотой f <6-10¹² Гц.

Под длиной волны понимают расстояние, проходимое волной за один период колебаний λ=cT=c/f, где c=3*10⁸ м/с - скорость распространения электромаг­нитных волн.

Радиоспектр разделяется на диапазоны, которые различаются характеристиками распространения:

* Диапазон очень низких частот (ОНЧ) используется для связи с подводными лодками, поскольку только ОНЧ-сигналы распростра­няются под водой на глубине в несколько метров.

* Низкочастотный диапазон (НЧ) (300 кГц--3 МГц) исполь­зуется для ближней связи, так как радиус действия НЧ-сигналов незначителен.

* Высокочастотный диапазон (ВЧ) (3-30 МГц); сигналы в этом диапазоне распространяются на очень большие расстояния за счет многократного отражения радиоволн от ионосферы и поверхности Земли.

* Диапазоны очень высоких частот (ОВЧ) (30-300 МГц), уль­травысоких частот (УВЧ) (300 МГц -1 ГГц) и сверхвысоких ча­стот (СВЧ) (свыше 1 ГГц). Сигналы в этих диапазонах распро­страняются в пределах прямой видимости и отражаются от зданий и других объектов, что улучшает условия приема в зоне действия передатчика

Наименования длин волн :

10¹² — тера (Т) 10-¹ — деци (д)

10⁹ —гига (Г) 10^-:2 — санти (с)

10⁶ —мега (М) 10^-5 —милли (м)

10³ —кило (к) 10-⁶ -микро (мк)

10² — гекто (г) 10-⁹ — нано (н)

10 —дека (да) 10^-12 —пико (п)

Разбивка радиоволн на диапазоны производится с учетом особенностей получения и условий их распрост­ранения над земной поверхностью. На распространение радиоволн оказывают влияние как поверхность Земли, так и ионосфера - верхний слой атмосферы, ионизирую­щийся под действием солнечной радиации и других фак­торов. В ионосфере радиоволны преломляются и могут вследствие этого возвращаться к Земле. Однако прелом­ление получается тем меньше, чем больше частота.

Переход в радиосвязи к более коротким волнам позво­ляет использовать большее количество радиостанций в отведенном частотном диапазоне