Практическая работа №2: «Решение задач по комбинаторике»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ПО ВЫПОЛНЕНИЮ практических работ

по дисциплине Математическая статистика

Направление подготовки 100800 «Товароведение»

Профиль подготовки Товарный менеджмент

 

 

Уфа- 2014г.

Автор – составитель: Уразаева Н.Ю. Методические указания по выполнению практических работ. – Уфа УИ РЭУ, 2014

 

Ответственный редактор: д.э.н., профессор Г.Г. Муфтиев

Ответственный за выпуск: доцент кафедры информационных технологий Н.Ю. Уразаева

Рецензенты: к.т.н. Хасанов В.Х.

 

© Уразаева Н.Ю. 2014

© Уфимский институт (филиал) РЭУ, 2014

 

 

Методическое пособие разработано в соответствии с Государственным стандартом

 

 

Практическая работа №1: «Решение задач по алгебре событий». 6

Практическая работа №2: «Решение задач по комбинаторике». 8

Практическая работа №3 «Вычисление вероятностей событий по классической формуле определения вероятностей». 9

Практическая работа №4 «Решение задач на сложение и умножение вероятностей». 10

Практическая работа №5 «Решение задач по формуле полной вероятности событий и по формуле Байеса». 12

Практическая работа №6 «Решение задач на законы распределения вероятностей дискретных случайных величин». 14

Практическая работа №7 «Нахождение числовых характеристик дискретных случайных величин». 15

Практическая работа №8 «Вычисление функции и плотности распределения непрерывных случайных величин». 17

Практическая работа №9 «Вычисление числовых характеристик важнейших непрерывных распределений». 20

Практическая работа №10 «Вычисление плотности распределения одного случайного аргумента». 21

Практическая работа №11 «Построение графических изображений выборок и эмпирических функций распределения». 23

Практическая работа №12 «Вычисление выборочных средней и дисперсии». 25

Практическая работа №13 «Решение задач на доверительный интервал». 29

Практическая работа №14 «Расчёт сводных характеристик выборки методом произведений». 30

Практическая работа №15 «Расчёт сводных характеристик выборки методом сумм». 31

Самостоятельная работа. 34

Литература. 38

 

Методические указания предназначены для студентов очной формы обучения по дисциплине Математическая статистика направление подготовки 100800 «Товароведение»профиль подготовки Товарный менеджмент

Методические указания соответствуют учебному плану и федеральному государственному общеобразовательному стандарту и включают примеры решения задач и варианты заданий для самостоятельного выполнения.

 

Практическая работа №1: «Решение задач по алгебре событий».

Основные понятия и определения.

Пусть - пространство элементарных событий рассматриваемого опыта. Для каждого возможного в этом опыте события А выделим совокупность всех элементарных событий, наступление которых необходимо влечёт наступление А. Эти элементарные события благоприятствуют появлению А. Множество этих элементарных событий обозначим тем же символом А, что и соответствующее событие.

Таким образом, событие А состоит в том, что произошло одно из элементарных событий, входящих в указанное множество А. Мы отождествляем событие А и соответствующее ему множество А элементарных событий.

Событие называется достоверным, если оно наступает в результате появления любого элементарного события. Обозначение: .

Невозможным назовём событие, не наступающее ни при каком элементарном событии. Обозначение: Æ.

Пример.В опыте с кубиком достоверным является событие, что выпадет число, меньшее 7. Невозможным – выпадет отрицательное число.

Суммой (или объединением) двух событий А и В назовём событие А+В (или АÈВ), происходящее тогда и только тогда, когда происходит или А, или В. Сумме событий А и В соответствует объединение множеств А и В. Очевидные соотношения: А+Æ=А, А+ = , А+А=А.

Пример.Событие «выпало чётное» является суммой событий: выпало 2, выпало 4, выпало 6.

Произведением (или пересечением) двух событий А и В назовём событие АВ (или АÇВ), которое происходит тогда и только тогда, когда происходит и А, и В. Произведению событий А и В соответствует пересечение множеств А и В.

Очевидные соотношения: АÆ=Æ, А =А, АА=А.

Пример.«Выпало 5» является пересечением событий: выпало нечётное и выпало больше 3-х.

 

Два события назовём несовместными, если их одновременное появление в опыте невозможно, т.е. АВ=Æ.

Пример.Выпало чётное число и выпало нечётное число – события несовместные.

 

Событие назовём противоположным к А, если оно происходит тогда и только тогда, когда А не происходит. Очевидные соотношения: А+ = , А =Æ, =А.

Пример.Выпало чётное число и выпало нечётное число – события противоположные.

Разностью событий А и В назовём событие А\В, происходящее тогда и только тогда, когда происходит А, но не происходит В. Очевидные соотношения: = \А, А\В=А .

Операции сложения и умножения обладают следующими свойствами: А+В=В+А, АВ=ВА, А(В+С)=АВ+АС, А(ВС)=(АВ)С.

Пример.Производится два выстрела по цели. Пусть событие А – попадание в цель при первом выстреле и В – при втором, тогда и - промах соответственно при первом и втором выстрелах. Обозначим поражение цели событием С и примем, что для этого достаточно хотя бы одного попадания. Требуется выразить С через А и В.

Решение.Цель будет поражена в следующих случаях: попадание при первом и промах при втором; промах при первом и попадание при втором; попадание при первом и втором выстрелах. Перечисленные варианты можно соответственно записать: А , В и АВ. Интересующее нас событие заключается в наступлении или первого, или второго, или третьего вариантов (хотя бы одного), то есть

С= А + В+АВ.

С другой стороны, событие , противоположное С, есть промах при двух выстрелах, то есть , отсюда искомое событие С можно записать в виде С= .

Практическая работа №2: «Решение задач по комбинаторике».

Комбинаторными задачами называются задачи, в которых необходимо подсчитать, сколькими способами можно сделать тот или иной выбор, выполнить какое-либо условие.

Пусть имеется множество, содержащее n элементов. Каждое его упорядоченное подмножество, состоящее из k элементов, называется размещением из n элементов по k элементов:

, где n!=1*2*3*…*n

Пример.Группа учащихся изучает 7 учебных дисциплин. Сколькими способами можно составить расписание занятий на понедельник, если в этот день недели должно быть 4 различных урока?

Решение.Число способов равно числу размещений из 7 элементов по 4, т.е. равно . Получаем = .

 

Размещения из n элементов по n элементов называются перестановками из n элементов:

.

Пример.Сколько шестизначных чисел, кратных пяти, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при условии, что в числе цифры не повторяются?

Решение.Цифра 5 обязана стоять на последнем месте. Остальные пять цифр могут стоять на оставшихся пяти местах в любом порядке. Следовательно, искомое число шестизначных чисел, кратных пяти, равно числу перестановок из пяти элементов, т.е. 5!=5*4*3*2*1=120.

Сочетания. Пусть имеется множество, состоящее из n элементов. Каждое его подмножество, содержащее k элементов, называется сочетанием из n элементов по k элементов:

Пример.Сколько матчей будет сыграно в футбольном чемпионате с участием 16 команд, если каждые две команды встречаются между собой один раз?

Решение.Матчей состоится столько, сколько существует двухэлементных подмножеств у множества, состоящего из 16 элементов, т.е. их число равно .

Свойства сочетаний: