Материальная точка. Абсолютно твердые и деформируемые тела

 

Тело можно рассматривать как материальную точку, т. е. его можно представить геометрической точкой, в которой сосредоточена вся масса тела, в том случае, когда размеры тела не имеют значения в рассматриваемой задаче. Тело можно считать материальной точкой в тех случаях, когда все его точки совершают тождественные движения.

Системой называется совокупность материальных точек, движения и положения которых взаимозависимы. Любое физическое тело можно рассматривать как систему материальных точек.

Рассматривая равновесие тел, их считают абсолютно твердыми (или абсолютно жесткими), т. е. предполагают, что никакие внешние воздействия не вызывают изменения их размеров и формы и что расстояние между любыми двумя точками тела всегда остается неизменным.

В действительности все тела под влиянием силовых воздействий со стороны других тел деформируются и изменяют свои размеры или форму. Но материалы, форму и размеры элементов конструкции подбирают с таким расчетом, чтобы их деформации были минимальными, поэтому такими деформациями пренебрегают и рассматривают элементы конструкций как абсолютно твердые тела.

Сила-вектор. Система сил. Эквивалентность сил

Абсолютно твердые тела могут вступать во взаимодействие, в результате которого изменяется характер их движения. Мерой этого взаимодействия является сила. Действие силы на тело определяется тремя факторами: численным значением, направлением, точкой приложения, т. е. сила является векторной величиной.

Вектор силы изображается отрезком, на конце которого ставится стрелка. Стрелка указывает направление вектора, длина отрезка – значение вектора, измеренное в выбранном масштабе.

Модуль, или численное значение силы, в системе единиц измерения физических величин СИ измеряется в ньютонах (Н). Применяют также и более крупные единицы измерения:

1 килоньютон (1 кН = 10³ Н), 1 меганьютон (1 МН = 10⁶ H).

До сих пор иногда используют для измерения сил техническую систему (МКГСС), в которой в качестве единицы силы применяется килограмм-сила (кгс). Единицы силы в системах СИ и МКГСС связаны соотношением

1 кгс = 9,81 Н ≈ 10 Н или 1 Н ≈ 0,1 кгс.

 

Аксиомы статики

Статика основана на аксиомах, вытекающих из опыта и при­нимаемых без доказательств. Аксиомы статики устанавливают основные свойства сил, приложенных к абсолютно твердому телу.

Первая аксиома: система сил, является уравновешенной, если под ее воздействием точка находится в состоянии относительного покоя или движется равномерно и прямолинейно.

Из первой аксиомы следует, что уравновешенная система сил как причина механического движения эквивалентна нулю.

Если на тело действует уравновешенная система сил, то тело либо находится в состоянии относительного покоя, либо движется равномерно и прямолинейно, либо равномерно вращается вокруг неподвижной оси.

Вторая аксиома: две равные по модулю (или численному значению) силы F₁ = F₂, приложенные к абсолютно твердому телу и направленные по одной прямой в противоположные стороны, взаимно уравновешиваются (рис. 1).

Рис. 1

Системой сил называют совокупность нескольких сил, приложенных к телу, точке или системе тел и точек.

Система сил, линии действия которых лежат в разных пло­скостях, называется пространственной. Если же линии действия рассматриваемых сил лежат в одной плоскости, система называется плоской.

Система сил с пересекающимися в одной точке линиями действия называется сходящейся. Система сил с параллельными линиями действия называется параллельной. Сходящаяся и параллельная системы сил могут быть как пространственными, так и плоскими.

Две системы сил эквивалентны, если взятые порознь они оказывают одинаковое механическое действие на тело. Следовательно, две системы сил, эквивалентные третьей, эквивалентны между собой. Любую сложную систему сил всегда можно заменить более простой эквивалентной ей системой сил.

Силу, эквивалентную данной системе сил, называют равнодействующейэтой системы. Силу, равную по модулю равнодействующей и направленную по той же линии действия, но в противоположную сторону, называют уравновешивающейсилой. Если к системе сил добавлена уравновешивающая сила, то полученная новая, система находится в равновесии и эквивалентна нулю.

Из второй аксиомы вытекает следствие, согласно которому всякую силу, действующую на абсолютно твердое тело, можно перенести вдоль линии ее действия в любую точку тела, не нарушив при этом его механического состояния.

Третья аксиома: не нарушая механического состояния абсолютно твердого тела, к нему можно приложить или отбросить от него уравновешенную систему сил.

Пусть тело (рис. 2) находится в состоянии равновесия. Если к нему приложить несколько взаимно уравновешенных сил (F₁ = F₁', F₂ = F₂' F₃ = F₃'), то равновесие не нарушится. Аналогичный эффект получится при отбрасывании этих уравновешенных сил.

Рис. 2

 

Системы сил, показанные на рис. 1 и 2 эквивалентны, так как они дают одинаковый эффект: под действием каждой из них тело находится в равновесии.

Пусть на тело в точке А действует сила F₁ (рис. 3). В произвольной точке В на линии действия силы F₁ приложим две силы F₂ и F₃, равные по модулю F₁ и направленные в противоположные стороны. Состояние тела в этом случае не нарушится.

Рис. 3

Силы F₁ и F₃, равные по модулю и противоположно направленные, можно отбросить. Таким образом, силу F₁ можно заменить равной силой F₂ перенесенной по линии действия F₁ из точки А в точку В (рис. 4).

Рис. 4

Векторы, которые можно переносить по линии их действия, называют скользящими.

Четвертая аксиома: равнодействующая двух сил, приложенных к одной точке, приложена в этой точке и является диагональю параллелограмма, построенного на данных силах.

Так, равнодействующей двух сил F₁ и F₂, приложенных к точке А (рис. 5), будет сила F представляющая собой диагональ параллелограмма ACDB, построенного на векторах заданных сил.

Рис. 5

 

Определение равнодействующей двух сил по правилу параллелограмма называется векторным, или геометрическим, сложением и выражается векторным равенством:

При графическом определении равнодействующей двух сил вместо правила параллелограмма можно пользоваться правилом треугольника.

Рис. 6

 

Из произвольной точки А (рис. 6) проводим, сохраняя масштаб и заданное направление, вектор первой составляющей силы F₁, из его конца проводим вектор, параллельный и равный второй составляющей силе F₂. Замыкающая сторона AD треугольника и будет искомой равнодействующей F.

Модуль равнодействующей двух сил определим из треугольника ACD:

, где .

Следовательно,

или

 

На основании четвертой аксиомы одну силу F, можно заменять двумя составляющими силами F₁ и F₂. Такую замену часто производят при решении задач статики.

Пятая аксиома: в природе не может быть одностороннего действия силы, при взаимодействии тел всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие. Так, если на тело В (рис. 7) действует сила F₁ со стороны материального тела А, то на тело А действует со стороны тела В такая же по численному значению сила F₂.

 

 

Рис. 7

 

Обе силы действуют по одной прямой и направлены в противоположные стороны. Действие и противодействие всегда приложены к различным телам и именно поэтому они не могут уравновешиваться.

 

Связи и их реакции

Рассматриваемые в механике тела могут быть свободными и несвободными. Свободным называют тело, которое не испытывает никаких препятствий для перемещения в пространстве в любом направлении. Если же тело связано с другими телами, которые ограничивают его движение в одном или нескольких направлениях, то оно является несвободным. Тела, которые ограничивают движение рассматриваемого тела, называют связями.

При взаимодействии между телом и его связями возникают силы, противодействующие возможным движениям тела. Эти силы действуют на тело со стороны связей и называются реакциями связей.

Реакция связи всегда противоположна тому направлению, по которому связь препятствует движению тела. Существование реакций обосновывается аксиомой о действии и противодействии.

Для определения реакций связей используют принцип освобождения от связей: не изменяя равновесия тела, каждую связь можно отбросить, заменив ее реакцией.

Наиболее распространенные виды связей:

1. Связь в виде гладкой (т. е. без трения) плоскости или поверхности (рис. 8). В этом случае реакция связи всегда направлена по нормали к опорной поверхности.

Рис. 8

 

2. Связь в виде контакта цилиндрической или шаровой поверхности с плоскостью. В этом случае реакция связи направлена также по нормали к опорной поверхности (рис. 9).

Рис. 9

 

Связь в виде шероховатой плоскости (рис. 10). Здесь возникают две составляющие реакции: нормальная R_n перпендикулярная плоскости, и касательная лежащая в плоскости.

Рис. 10

 

Касательная реакция называется силой трения и всегда направлена в сторону, противоположную действительному или возможному движению тела. Полная реакция R, равная геометрической сумме нормальной и касательной составляющих отклоняется от нормали к опорной поверхности на некоторый угол .

При взаимодействии с реальными связями возникают силы трения, однако во многих случаях они незначительны, вследствие этого ими часто пренебрегают.

4. Гибкая связь, осуществляемая веревкой, тросом, цепью и т. п. (рис. 11). Реакции гибких связей R_A и R_B направлены вдоль связей, причем гибкая связь может работать только на растяжение.

 

Рис. 11

 

5. Связь в виде жесткого прямого стержня с шарнирным закреплением концов (рис. 12). Реакции R₁, R₂ и R₃ всегда направлены вдоль осей стержней. Стержни при этом могут быть растянутыми или сжатыми.

 

Рис. 12

 

6. Связь, осуществляемая ребром двугранного угла или точечной опорой (рис. 13). Реакция такой связи R₁ или R₂ направлена перпендикулярно по­верхности опирающегося тела.

 

Рис. 13