Причины возникновения периодических несинусоидальных ЭДС, токов и напряжений. Представление функций рядом Фурье

Несовершенство источников энергии постоянной и несинусоидальной ЭДС, подключение линейных электрических цепей к источникам электрической энергии, в которых создаются ЭДС специальной формы (например, к генераторам с пилообразной или прямоугольной формой напряжения); наличие в электрических цепях разного рода нелинейных элементов (например, выпрямителей). Для анализа цепей, питаемых несинусоидальным напряжением, используют те же методы, что и для цепей синусоидального напряжения, при условии, что периодически изменяющаяся несинусоидальная функция напряжения представлена в виде ряда синусоидальных функций – ряда Фурье.

Так периодически изменяющаяся несинусоидальная функция F(t) записывается рядом Фурье следующим образом:

F(t) = A₀ + A_1mахsin(ωt + ψ₁) + A_{2 mах} sin(2ωt + ψ₂) + A_{k mах} sin(kωt +

+ ψ_k) + A_{n mах}sin(nωt + ψ_n) = A₀ +∑A_{k mах}sin(ωt + ψ_k),

где A₀ - и высших постоянная составляющая ряда Фурье; A_1mах, A_2mах, A_{k mах}, A_nmах – амплитуды первой гармоник; ω, 2ω, kω, nω – возрастающие частоты гармоник; ψ₁, ψ₂, ψ_k, ψ_n - начальные фазы гармоник.

Первая гармоника имеет период, равный периоду несинусоидальной величины, называется основной гармоникой.

Для определения амплитуд гармоник (например, ЭДС) целесообразно каждую из них представить в виде суммы двух гармоник, начальные фазы которых равны нулю:

Е_kmахsin(kωt + ψ_k) = Е_kmахcos ψ_k sinkωt + Е_kmахsinψ_k coskωt =

= В_k sinkωt + С_kmахcoskωt,

где В_k = Е_kmахcosψ_k, С_k = Е_kmахsinψ_k.

На рисунке изображены основная и третья гармоники ЭДС при условии, когда начальные фазы равны нулю

Рис.10.3. Графическое изображение первой и третьей гармоник ЭДС

при начальных фазах, равных нулю, и их суммы

Амплитуды гармонических составляющих (коэффициенты В_k и С_k) зависят от начальных фаз и поэтому изменяются при изменении начала отсчета времени.

е = Е₀ + В₁sinωt + В₂sin2ωt + С₁cosωt + С₂cos2ωt + … = Е₀ + ∑В_ksinkωt +

+ ∑С_kcoskωt

Здесь: Е₀ = 1/Т∫_ое(t)dt;

В_k = 2/Т∫е(t)sinkωtdt;

С_k = 2/Т∫е(t)coskωtdt,

где е(t)– аналитическое выражение для несинусоидальной ЭДС.

Зная амплитуду двух слагаемых k ‑ й гармоники, находят полную амплитуду этой гармоники и ее начальную фазу:

Е_{k mах} = ; ψ_k = arctg(С_k /В_k).

Из формулы видно, что постоянная составляющая ЭДС Е₀ является средним значением периодической несинусоидальной ЭДС.

Аналогично представляют рядом Фурье и определяют амплитуды и начальные фазы гармоник несинусоидальных напряжений и токов.

Действующее значение несинусоидальных

Электрических величин

Действующим значением Е периодической несинусоидальной функции е(t) называют ее среднеквадратичное за период T значение:

Учитывая, что для несинусоидальной ЭДС

е_k = E₀ + ∑Е_kmах sin(kωt + ψ_k)

после интегрирования уравнения получим

где U_k = U_kmах/ – действующее напряжение каждой гармоники.

Аналогично записывают действующие значения тока и напряжения.