Катушка с магнитопроводом в цепи переменного тока

Переменный ток катушки возбуждает в магнитопроводе основной магнитный поток Ф (рис.11.3). Небольшая часть магнитных линий замыкается вне магнитопровода по воздуху, образуя потоки рассеяния Ф_s, которые удобно характеризовать одной интегральной величиной – потокосцеплением

рассеяния ψ_s. Основное магнитное сопротивление на пути потоков рассеяния создает линейная воздушная среда, поэтому считают, что ψ_s пропорционально току i: ψ_s = L_si, где L_s – линейная индуктивность рассеяния обмотки.

Полное потокосцепление катушки

,

где w – число витков катушки.

Рис.11.3. Катушка с магнитопроводом: а – конструкция; б – схема замещения

Согласно закону электромагнитной индукции, изменение потокосцепления катушки индуцирует ЭДС самоиндукции:

.

Из баланса напряжений для контура e = Ri – u, где R – активное сопротивление обмотки, находим

.

Суммированию напряжений соответствует последовательное соединение элементов. Поэтому следует, что катушка с магнитопроводом представляется схемой замещения в виде последовательного соединения резистора R, линейной индуктивности L_s и нелинейной идеализированной катушки с напряжением u₀ = –e₀ = wdФ/dt. Нелинейность идеализированной индуктивности обусловлена наличием ферромагнитного сердечника. У реальных катушек R и L_s делают минимальными, поэтому, как правило, падением напряжений на них можно пренебречь и считать, что u ≈ u₀ = –e₀.

Пусть напряжение u источника: u = U_msinωt. Тогда u₀ ≈ ≈ U_msinωt = wdФ/dt. Интегрируя это уравнение, получим f(t) =
= –U_m/(wω)cosωt + A, где А – постоянная интегрирования. Можно показать, что в установившемся режиме А = 0.

Следовательно,

,

т. е. у реальной катушки при синусоидальном питающем напряжении магнитный поток также синусоидален и не зависит от свойств сердечника. Переходя к действующим значениям U₀ = E₀ = U_m/с учетом ω = 2πf, получим

.

Это выражение используют при практическом анализе трансформаторов и называют трансформаторной ЭДС.

Для получения кривой тока i(t) в катушке предварительно перестроим петлю гистерезиса магнетика в вебер-амперную характеристику F(i). На рис.11.4 показан процесс построения по точкам кривой тока i(t). Пусть 1 – исходная точка на кривой f(t) при t = 0. Ей соответствует точка 1^’ на правой ветви петли гистерезиса. Точке 1^’ соответствует точка 1^’’ на оси тока. Отрицательное значение тока, определяемое точкой 1^’’, откладываем на вертикальной оси при t = 0. Задаемся моментом t = t₁ (точка 2 на f(t)) и повторяем все действия. Получим на вертикали t = t₁ точку 2^’’. Соединив точки 1^’’, 2^’’, … плавной кривой, получим график тока i(t).

Ток i(t) несинусоидален. В разложении кривой тока в ряд Фурье содержатся только нечетные гармоники. С достаточной точностью можно ограничиться учетом только первой и третьей гармоник тока.

Рис.11.4. Построение кривой тока катушка с магнитопроводом

В большинстве случаев амплитуда тре­тьей гармоники I_m(3) много меньше амплитуды первой I_m(1), что позволяет для анализа катушки применить метод эквивалентных синусоид. Суть этого метода состоит в замене несинусоидального тока эквивалентной синусоидой при соблюдении двух условий:

1) действующее значение эквивалентной синусоиды равно действующему значению несинусоидального тока, т. е.

;

2) мощность потерь после замены не должна измениться. Введение эквивалентной синусоиды тока позволяет для анализа катушки использовать комплексный метод.

Из рис.11.5,б следует, что ток опережает по фазе поток на небольшой угол δ (угол потерь) и отстает по фазе от напряжения U₀ на угол (90° – δ). Это означает, что входное сопротивление идеализированной катушки имеет активно-индуктивный характер. Полная схема замещения катушки представлена на рис.11.5, а.

Сопротивление R₀ обусловлено тепловыми потерями в сердечнике из-за гистерезиса, а индуктивность L₀ создает основной магнитный поток Ф. При анализе катушки с ферромагнитным сердечником необходимо учитывать возникновение вихревых токов в сердечнике, которые вызывают дополнительные тепловые поте ри. Для их снижения сердечник собирают из тонких пластин (на частоте 50 Гц толщина пластин 0,35¸0,5 мм). Сопротивление R₀ учитывает потери из-за гистерезиса и вихревых токов. Для реальных катушек характерны соотношения R₀ >> R; L₀ >> L_s. Векторная диаграмма катушки показана на рис.11.5, б.

На рис.11.5, в внутренняя петля гистерезиса – статическая петля. При наличии вихревых токов в магнитопроводе петля расширяется, и ее называют динамической. Можно показать, что суммарная мощность потерь в магнитопроводе пропорциональна площади петли гистерезиса.