Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициаентами

Производная функции. Дифференциал.

Производной функции γ=f(x) называется функция f'(x), равная пределу отношения приращения функции f(x) к приращению аргумента, когда последнее произвольным образом стремится к нулю:

где х - приращение аргумента х.

Производная функция у обозначается также через у' и

Неопределенный интеграл, интегрирование тригонометрических функций.

Опр. Совокупность всех первообразных функций для функции f(x) на множестве X называют неопределенным интегралом функции f(x) на множестве X и обозначают .

Интегрирование тригонометрических функций:

инт sinxdx=-cosx+C, cosxdx=sinx+C, tgxdx=-ln|cosx|+C, ctgxdx=ln|sinx|+C

Определенный интеграл. Геометрические приложения определенного интеграла.

Определенным интегралом от функции f(x) на сегменте (a,b) называется предел суммы f( )* , при условии, что этот предел существует, конечен и не зависит от способа разбиения сегмента (a,b) на элементарные сегменты:

Геом. смысл. Вычисление площадей плоских фигур:

Вычисление объема с известным поперечным сечением:

Вычисление объема тела вращения: , где r=y(x) радиус сечения

Числовые и степенные ряды. Разложение элементарных функций в степенные ряды. Ряды Фурье. Интеграл Фурье.

Обычный числовой ряд состоит из чисел: Все члены ряда – это ЧИСЛА.

Функциональный же ряд состоит из ФУНКЦИЙ: все члены функционального ряда – это функции.

Степенной ряд – это ряд, в общий член которого входят целые положительные степени независимой переменной . Упрощенно степенной ряд во многих учебниках записывают так: , где – это старая знакомая «начинка» числовых рядов (многочлены, степени, факториалы, зависящие только от n). Простейший пример:

Ряды Фурье.

Разложение функции в ряд Фурье на промежутке

Рассмотрим некоторую функцию , которая определена по крайне мере на промежутке (а, возможно, и на бОльшем промежутке). Если данная функция интегрируема на отрезке , то её можно разложить в тригонометрический ряд Фурье:
, где – так называемые коэффициенты Фурье.

При этом число называют периодом разложения, а число –полупериодом разложения.

Очевидно, что в общем случае ряд Фурье состоит из синусов и косинусов:

Действительно, распишем его подробно:

Нулевой член ряда принято записывать в виде .

Коэффициенты Фурье рассчитываются по следующим формулам:

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициаентами.

Решить дифференциальное уравнение y'' − 6y' + 5y = 0.

Решение.

Запишем сначала соответствующее характеристическое уравнение:

Корни данного уравнения равны k₁ = 1, k₂ = 5. Поскольку корни действительны и различны, общее решение будет иметь вид:

где C₁ и C₂ − произвольные постоянные.

Найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения.

Решение:
1)Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения. Берём наш неоднородный диффур и обнуляем правую часть:

Составим и решим характеристическое уравнение:

– получены различные действительные корни, поэтому общее решение:

2) Теперь нужно найти какое-либо частное решение неоднородного уравнения

Частное решение неоднородного уравнения нужно искать в виде:

Найдём первую и вторую производную:

Подставим и в левую часть неоднородного уравнения:

(1) Выполняем подстановку и .
(2) Раскрываем скобки.
(3) После максимальных упрощений ставим знак равенства и приписываем нашу правую часть .

Далее работаем с последним равенством – необходимо приравнять коэффициенты при соответствующих степенях и составить систему линейных уравнений. В картинках процесс выглядит так:

Чтобы было еще проще, новичкам рекомендую предварительно сгруппировать подобные слагаемые:
, и только потом составлять систему.

В данном случае система получилась очень простой, и многие из читателей справятся с ней даже устно.

Подставляем найденные значения в наш исходный подбор частного решения :

Таким образом, подобранное частное решение неоднородного уравнения:

3) Запишем общее решение неоднородного уравнения:

Всё!

Ответ: общее решение: