Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные функции и их применение к вычислению пределов
Бесконечно большая функция (б.б.ф) Функция y = f (x) называется бесконечно большой при х→ х0, если для любого числа М > 0 существует число δ = δ (М) > 0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0 < |х- х0| < δ, выполняется неравенство |f(х)| > М. Записывают = ∞ или f (x) → ∞ при х → х0. Если f(х) стремится к бесконечности при х → х0 и принимает лишь положительные значения, то пишут = + ∞; если лишь отрицательные значения, то = - ∞. Бесконечно малая функция (б.м.ф.) Функция у = f(x) называется бесконечно малой при х→ х0, если . По определению предела функции равенство означает: для любого числа ɛ > 0 найдется число δ > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0 < |х – х0| < δ, выполняется неравенство |f (x)| < ɛ. Аналогично определяется б.м.ф. при х→ х0 + 0, х→ х0 – 0, х→ + ∞, х→ - ∞: во всех этих случаях f (x) →0. Бесконечно малые функции часто называют бесконечно малыми величинами или бесконечно малыми; обозначают обычно греческими буквами α, β и т.д. Сравнение бесконечно малых функций Как известно, сумма, разность и произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая. Отношение же двух б.м.ф. может вести себя различным образом: быть конечным числом, быть бесконечно большой функцией, бесконечно малой или вообще не стремиться ни к какому пределу. Две б.м.ф.сравниваются между собой с помощью их отношения. Пусть α = α(х) и β = β(х) есть б.м.ф. при х → х0, т.е. = 0 и = 0. 1.если = А ≠ 0 (А ? R), то α и β называются бесконечно малыми одного порядка. 2.если = 0, то α называется бесконечно малой более высокого порядка, чем β. 3если = ∞, то α называется бесконечно малой более низкого порядка, чем β. 4.если не существует, то α и β называются несравнимыми бесконечно малыми. Отметим, что такое же правило сравнения б.м.ф.при х → ± ∞, х → х0 ± 0. Эквивалентные функции Среди бесконечно малых функций одного порядка особую роль играют так назывемые эквивалентные бесконечно малые. Если = 1, то α и β называются эквивалентными бесконечно малыми (при х → х0); это обозначается так: α ~ β. Применение эквивалентных функций для вычисления пределов Для раскрытия неопределенностей вида часто бывают полезным применять принцип замены бесконечно малых эквивалентными и другие свойства эквивалентных бесконечно малых функций. Как известно, sin x ~ х при х → 0, tg х ~ х при х → 0. важнейшие эквивалентности, которые используют для вычисления пределов: 1) sin х ~ х при х → 0; 2) tg х ~ х (х → 0); 3) arcsin х ~ х (х → 0); 4) arctg х ~ х (х → 0); 5) 1 – cos х ~ (х → 0); 6) - 1 ~ х (х → 0); 7) - 1 ~ х * ln а (х → 0); 8) ln (1+х) ~ х (х → 0); 9) ~ х * (х → 0); 10) (1 + х)k – 1 ~ k * х, k > 0 (х → 0); в частности, - 1 ~ .
40ВОПРОС Непрерывность функции в точке и на отрезке. Свойства функций, непрерывных в точке. Функция f(x), определенная в окрестности некоторой точки х0, называется непрерывной в точкех0, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е. Тот же факт можно записать иначе: Определение. Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х0, но не является непрерывной в самой точке х0, то она называется разрывной функцией, а точка х0 – точкой разрыва. Функция f(x) называется непрерывной на интервале (отрезке), если она непрерывна в любой точке интервала (отрезка).
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1334)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |