Дифференциал функции и его геометрический смысл
Дифференциалом функции в называется главная, линейная относительно , часть приращения функции. Покажем, что и эквивалентные бесконечно малые при
Геометрический смысл дифференциала: Проведем к графику функции в точку касательную и рассмотрим ординату этой касательной для точки На рисунке Из прямоугольного треугольника имеем: Но, согласно геометрическому смыслу производной, Поэтому Это означает, что дифференциал функции равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда получает приращение Применение дифференциала в приближённых вычислениях. Пусть нам известно значение функции y0=f(x0) и ее производной y0' = f '(x0) в точке x0. Покажем, как найти значение функции в некоторой близкой точке x. Как мы уже выяснили приращение функции Δyможно представить в виде суммы Δy=dy+α·Δx, т.е. приращение функции отличается от дифференциала на величину бесконечно малую. Поэтому, пренебрегая при малых Δx вторым слагаемым в приближенных вычислениях, иногда пользуются приближенным равенством Δy≈dyили Δy»f'(x0)·Δx. Т.к., по определению, Δy = f(x) – f(x0), то f(x) – f(x0)≈f'(x0)·Δx. Откуда f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)·Δx Инвариантность формы первого дифференциала Если x - независимая переменная, то dx = x - x0 (фиксированное приращение). В этом случае имеемdf (x0) = f'(x0)dx. (3) Если x = φ(t) - дифференцируемая функция, то dx = φ'(t0)dt. Следовательно, т. е. первый дифференциал обладает свойством инвариантности относительно замены аргумента. Непрерывность дифференцируемой функции Если функция y = f (x) имеет производную в точке х = х0, то говорят, что при данном значении аргумента х = х0 функция дифференцируема. Если функция дифференцируема в каждой точке интервала (a, b), то говорят, что она дифференцируема на этом интервале. Если функция дифференцируема в некоторой точке х = х0, то она в этой точке непрерывна. Доказательство. Пусть в точке х = х0 существует производная Так как разность между функцией и её пределом есть бесконечно малая величина, то из определения производной следует соотношение где γ (Δx) — является бесконечно малой величиной своего аргумента. Тогда Δy = f '(x0)·Δx + γ (Δx)·Δx и откуда следует, что Δy → 0 при Δx → 0, а это означает непрерывность функции у = f (x) в точке х0. Таким образом, в точках разрыва функция не может иметь производной. Однако и непрерывность функции не гарантирует существование производной в некоторой точке.
Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши. Правило Лопиталя. Теорема Ролля Теорема 1.1. Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема во всех его внутренних точках, а на концах отрезка , обращается в ноль, то существует, по крайней мере, одна точка , в которой . Следует отметить, что данная теорема справедлива и в том случае, когда на концах отрезка функция не обращается в ноль, но принимает равные значения . Геометрический смысл данной теоремы следующий: если непрерывная кривая пересекает ось в двух точках , или принимает в них равные значения, то, по крайней мере, в одной точке между и касательная к кривой параллельна оси . Необходимо отметить, что если не во всех точках у рассматриваемой функции существует производная, то теорема может не выполняться. Это касается, например, функции (ри Данная функция непрерывна на отрезке и обращается в ноль на его концах, но ни в одной точке внутри отрезка производная не равна нулю. Теорема Лагранжа Теорема. Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех его внутренних точках, то существует, по крайней мере, одна точка , в которой . Согласно теореме Ролля в точке производная , то есть и , что и требовалось доказать. Геометрический смысл теоремы Лагранжа следующий: внутри отрезка существует, по крайней мере, одна точка, в которой касательная параллельна хорде, стягивающей кривую на данном отрезке. В частности, при теорема переходит в теорему Ролля. Теорема Коши Теорема. Если функции и непрерывны на отрезке и дифференцируемы во всех его внутренних точках, причем не обращается в ноль ни в одной из указанных точек, то существует, по крайней мере, одна точка , в которой . Данная функция непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех его внутренних точках. Кроме того, вычисление ее в точках и дает: . Значит, функция удовлетворяет требованиям теоремы Ролля, то есть существует хотя бы одна точка , в которой . В случае, когда , теорема Коши переходит в формулировку теоремы Лагранжа. Правило Лопиталя Теорема. Пусть функции и непрерывны и дифференцируемы во всех точках полуинтервала и при совместно стремятся к нулю или бесконечности. Тогда, если отношение их производных имеет предел при , то этот же предел имеет отношение и самих функций, то есть .
50ВОПРОСФормула Тейлора и различные формы её остаточного члена. Основные разложения элементарных функций по формуле Тейлора. Теорема:
[править]Различные формы остаточного члена В форме Лагранжа: В форме Коши: В интегральной форме: Разложение основных элементарных функций - Положив x0=0 и вычислив соответствующие производные в нуле, получим формулы Тейлора для основных элементарных функций:
51 ВОПРОСЭкстремумы функции. Теорема Ферма. Необходимые и достаточные условия экстремума. в точке x0 функция достигает экстремума, если для любых x из некоторой окрестности точки x0 выполняется неравенство f (x) ≤ f (x0) (минимум) илиf (x) ≥ f (x0) (максимум).
Необходимое условие экстремума. Во всех точках экстремума производная функции не существует или равна нулю. Обратное, вообще говоря, неверно. Так, точка x = 0 функции y = x3 не является ни максимумом, ни минимумом. Точки, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными точками функции. Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками. Таким образом, все экстремумы являются критическими точками
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (615)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |