Определенный интеграл. Интегрируемость непрерывной функции. Формула Ньютона – Лейбница

Рассмотрим непрерывную функцию y = f ( x ), заданную на отрезке [ a, b ] и сохраняющую на этом отрезке свой знак ( рис.8 ).
Фигура, ограниченная графиком этой функции, отрезком [ a, b ] и прямыми x = a и x = b, называется криволинейной трапецией.
Для вычисления площадей криволинейных трапеций используется следующая теорема:

Если f – непрерывная, неотрицательная функция на отрезке [a, b], и F – её первообразная на этом отрезке, то площадь соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке [a, b], т.e.

Рассмотрим функцию S ( x ), заданную на отрезке [ a, b ]. Если a<x b, то S ( x ) – площадь части криволинейной трапеции, лежащей слева от вертикальной прямой, проходящей через точку ( x, 0 ). Отметим, что если x = a , то S ( a ) = 0, а S ( b ) = S ( S – площадь всей криволинейной трапеции). Можно доказать, что

т.e. S ( x ) – первообразная для f ( x ). Отсюда, согласно основному свойству первообразных, для всех x [ a, b ] имеем:

S ( x ) = F ( x ) + C ,

где C – некоторая постоянная, F – одна из первообразных функции f .

Чтобы найти C , подставим x = a :

F ( a ) + C = S ( a ) = 0,

отсюда, C = F ( a ) и S ( x ) = F ( x ) F ( a ). Так как площадь криволинейной трапеции равна S ( b ) , то подставляя x = b , получим:

S = S ( b ) = F ( b ) F ( a ).

П р и м е р . Найти площадь фигуры, ограниченной кривой y = x² и прямыми

y = 0, x = 1, x = 2 ( рис.9 ) .

Определённый интеграл. Рассмотрим другой способ вычисления площади криволинейной трапеции. Разделим отрезок [ a, b ] на n отрезков равной длины точками:

x₀ = a < x₁< x₂< x₃<…< x _{n  1}< x_n = b

и пусть = ( b – a ) / n = x_k  x_{k 1}, где k= 1, 2, …, n – 1, n .

В каждом из отрезков [ x_{k 1}, x_k ] как на основании построим прямоугольник высотой f ( x_{k - 1} ). Площадь этого прямоугольника равна:

Ввиду непрерывности функции f (x) объединение построенных прямоугольников при большом n ( т.e. при малом "почти совпадает" с нашей криволинейной трапецией ). Поэтому, S_n Sпри больших значениях n . Это значит, что S_n S при n  Этот предел называется интегралом функции f ( x ) от a до b или определённым интегралом :

Числа a и b называются пределами интегрирования, f ( x ) dx – подынтегральным выражением.

Итак, если f ( x ) 0 на отрезке [ a, b ], то площадь S соответствующей криволинейной трапеции вычисляется по формуле:

Формула Ньютона - Лейбница. Сравнивая две формулы для площади криволинейной трапеции, приходим к следующему заключению: если F ( x ) - первообразная функции f ( x ) на отрезке [ a, b ], то

Это и есть знаменитая формула Ньютона – Лейбница.Она справедлива для любой функции f ( x ), непрерывной на отрезке [ a, b ] .

Р е ш е н и е.

Т е о р е м а 1. Если функция непрерывна на , то она интегрируема на .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как функция непрерывна на , то она равномерно непрерывна на и, следовательно, такое, что как только разбит на части с , то все колебания . Отсюда

.

В силу произвольности заключаем, что , и по теореме 1 § 6.6 функция интегрируема.