Смешанное произведение векторов

Определение:Смешанным (векторно-скалярным) произведением векторов называется число, определяемое по формуле: .

Свойства смешанного произведения:

1.Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, т.е. .

2.При перестановке двух соседних сомножителей смешанное произведение меняет свой знак на противоположный, т.е. .

3.Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов : =0.

4.Смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком плюс, если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком минус, если они образуют левую тройку, т.е. .

Если известны координаты векторов ,то смешанное произведение находится по формуле:

Пример:Вычислить смешанное произведение векторов .

Решение:

Способы задания прямой на плоскости. Взаимное расположение двух прямых. Угол между прямыми. Геометрический смысл знака выражения .

Теорема. Пусть

и

– общие уравнения двух прямых на координатной плоскости Оху. Тогда

1) если , то прямые и совпадают;

2) если , то прямые и

параллельные;

3) если , то прямые пересекаются.

Доказательство. Условие равносильно коллинеарности нормальных векторов данных прямых:

. Поэтому, если , то и прямыепересекаются.

Если же , то , , иуравнение прямой принимает вид:

или , т.е. прямые совпадают. Заметим, что коэффициент пропорциональности , иначе все коэффициенты общего уравнения были бы равны нулю, что невозможно.

Если же прямые не совпадают и не пересекаются, то остается случай , т.е. прямые параллельны.

Теорема доказана.

Заметим, что если прямые пересекаются, то для нахождения координатих точки пересечения достаточно решить систему двух уравнений сдвумя неизвестными:

. (4)

Следствие. Пусть – определитель системы (4). Если , то прямые пересекаются в одной точке и система (4) имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера:

, (5)

где , .

Если , то прямые или параллельны и тогда система (4) не имеет решений, или прямые совпадают и тогда система (4) имеет бесконечно много решений.

Доказательство. По определению определителя второго порядка

.

Если , то и , т.е. прямые пересекаются икоординаты точки пересечения можно найти по формулам Крамера (5).

Если же , то и , т.е. либо прямые параллельны и тогда система не может иметь ни одного решения, либо прямыесовпадают и тогда система (4) состоит из одного уравнения и решениями такой системы являются координаты любой точки, лежащей на прямой, а их бесконечно много.

следствие доказано.

Пример. Выяснить взаимное расположение двух прямых

и

и если они пересекаются, найти их точку пересечения.

Решение. Решим систему

.

Определитель системы

,

следовательно прямые пересекаются. Вычисляем координаты точки пересечения:

, ,

, .

Ответ. Прямые пересекаются в точке .

Пусть две прямые и заданы общими уравнениями

и .

Так как нормальным вектором прямой является вектор , а нормальным вектором прямой является вектор , то задача об определении угла между прямыми и сводится к определению угла между векторами и .

Из определения скалярного произведения и из выражения в координатах длин векторов и и их скалярного произведения получим

. (1)

Итак, угол между прямыми, заданными общими уравнениями, определяется с помощью формулы (1).

Пример 1. Найти угол между прямыми, заданными общими уравнениями и .

Решение. Используя формулу (1), получаем:

Получаем угол .