Смешанное произведение векторов
Определение:Смешанным (векторно-скалярным) произведением векторов называется число, определяемое по формуле: . Свойства смешанного произведения: 1.Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, т.е. . 2.При перестановке двух соседних сомножителей смешанное произведение меняет свой знак на противоположный, т.е. . 3.Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов : =0. 4.Смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком плюс, если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком минус, если они образуют левую тройку, т.е. . Если известны координаты векторов ,то смешанное произведение находится по формуле: Пример:Вычислить смешанное произведение векторов . Решение: Способы задания прямой на плоскости. Взаимное расположение двух прямых. Угол между прямыми. Геометрический смысл знака выражения .
Теорема. Пусть и – общие уравнения двух прямых на координатной плоскости Оху. Тогда 1) если , то прямые и совпадают; 2) если , то прямые и параллельные; 3) если , то прямые пересекаются. Доказательство. Условие равносильно коллинеарности нормальных векторов данных прямых: . Поэтому, если , то и прямыепересекаются. Если же , то , , иуравнение прямой принимает вид: или , т.е. прямые совпадают. Заметим, что коэффициент пропорциональности , иначе все коэффициенты общего уравнения были бы равны нулю, что невозможно. Если же прямые не совпадают и не пересекаются, то остается случай , т.е. прямые параллельны. Теорема доказана. Заметим, что если прямые пересекаются, то для нахождения координатих точки пересечения достаточно решить систему двух уравнений сдвумя неизвестными: . (4) Следствие. Пусть – определитель системы (4). Если , то прямые пересекаются в одной точке и система (4) имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера: , (5) где , . Если , то прямые или параллельны и тогда система (4) не имеет решений, или прямые совпадают и тогда система (4) имеет бесконечно много решений. Доказательство. По определению определителя второго порядка . Если , то и , т.е. прямые пересекаются икоординаты точки пересечения можно найти по формулам Крамера (5). Если же , то и , т.е. либо прямые параллельны и тогда система не может иметь ни одного решения, либо прямыесовпадают и тогда система (4) состоит из одного уравнения и решениями такой системы являются координаты любой точки, лежащей на прямой, а их бесконечно много. следствие доказано. Пример. Выяснить взаимное расположение двух прямых и и если они пересекаются, найти их точку пересечения. Решение. Решим систему . Определитель системы , следовательно прямые пересекаются. Вычисляем координаты точки пересечения: , , , . Ответ. Прямые пересекаются в точке .
Пусть две прямые и заданы общими уравнениями и . Так как нормальным вектором прямой является вектор , а нормальным вектором прямой является вектор , то задача об определении угла между прямыми и сводится к определению угла между векторами и . Из определения скалярного произведения и из выражения в координатах длин векторов и и их скалярного произведения получим . (1) Итак, угол между прямыми, заданными общими уравнениями, определяется с помощью формулы (1). Пример 1. Найти угол между прямыми, заданными общими уравнениями и . Решение. Используя формулу (1), получаем: Получаем угол .
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (563)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |