Радиус сходимости и круг сходимости
Степенным рядом называется ряд вида
числа an C, n = 1, 2, …, называются коэффициентами ряда (32.1). С помощью замены переменного = z - z0 ряд (32.1) может быть преобразован к виду
Поэтому, как правило, мы ограничиваемся рассмотрением рядов вида (32.2). Если ряд
сходится, то an = 0, и потому существует такая постоянная c > 0, что для всех n = 1, 2, … выполняется неравенство
Следовательно, при z0 0 (в случае z0 = 0 утверждение теоремы очевидно и бессодержательно, так как множество таких z, что |z| < 0, пусто) имеем anzn| = |an ||z|/|z0|n c|z|/|z0|n, и если |z| < |z0|, то ряд |z|/|z0|n сходится, ибо является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии (ее знаменатель |z|/|z0|n = |z|/|z0| < 1). Поэтому по признаку сравнения сходимости рядов из неравенства (32.5) следует, что сходится ряд |anzn|, т. е. ряд (32.2) абсолютно сходится (рис. 127).
Очевидно, 0 < R < + . Неравенство |z| < R задает на комплексной плоскости C замкнутый круг радиуса R с центром в точке z = 0. При R = 0 этот круг вырождается в точку z = 0, а приR = + превращается во всю комплексную плоскость.
Если R = + , то точек z C таких, что |z| > R, нет. Если же R < + и z C таково, что |z| > R, то для любой точки x такой, что R < x < |z|, согласно определению R = sup X имеем x X, а поэтому в силу определения множества X ряд an xn расходится. Следовательно, в силу следствия из теоремы 1 ряд (32.2) расходится в рассматриваемой точке z.
то покажем, что ряд (32.2) сходится равномерно в круге |z| < r (рис. 128). Действительно, если |z| < r, то
Из неравенства (32.7), согласно вышедоказанному свойству радиуса сходимости, вытекает, что ряд (32.2) при z = r абсолютно сходится, т. е. сходится ряд |anrn, а тогда в силу признака равномерной сходимости Вейерштрасса (п. 31.2) из неравенства (32.8) следует, что ряд (32.2) равномерно сходится в круге {z: |z| < r}.
Для исследования его абсолютной сходимости применим признак Даламбера (п. 30.4): Следовательно, ряд (32.9) сходится только при z = 0, а потому его радиус сходимости равен нулю: R = 0.
равен + , так как в п. 31.1 было показано, что этот ряд сходится при любом z C.
равен 1, так как ряд (32.11) сходится при |z| < 1 и расходится при |z| > 1 (п. 30.1, 30.2). На границе {z: |z| = 1} круга сходимости имеем |z| = 1 и, следовательно, последовательность членов ряда (32.11) не стремится к нулю, откуда явствует, что во всех точках границы своего круга сходимости ряд (32.11) расходится.
радиус сходимости также равен 1. Действительно, при |z| < 1 выполняется неравенство
и, следовательно, согласно признаку равномерной сходимости Вейерштрасса, ряд (32.12) равномерно, а следовательно, и просто сходится. При |z| > 1 имеем |zn|/n2 = + , т. е. не выполняется необходимое условие сходимости ряда (см. теорему 1 из п. 30.2), и, таким образом, ряд (32.12) при |z| > 1 расходится.
можно найти, применив признак Даламбера: имеем Поэтому ряд (32.14) сходится при |z| < 1 и расходится при |z| > 1. Таким образом, R = 1. f(z) = an(z - z0)n. Поскольку в силу определения окрестности точки все точки, достаточно близкие к данной точке, принадлежат ее окрестности, то радиус сходимости написанного ряда положителен.
причем, по условию теоремы ряд anRn сходится. Поскольку этот ряд числовой, то его сходимость можно рассматривать как равномерную сходимость на отрезке [0,R]. Последовательность (x/R)n, n = 1, 2, ..., ограничена на отрезке [0,R], ибо если 0 < x < R, то 0 < (x/R)n < 1, и монотонна при любом x [0,R]. Следовательно, в силу признака равномерной сходимости Абеля (п. 31.3*) ряд (32.2) равномерно сходится на отрезке [0,R].
равны:
Таким образом, ряды (32.17) и (32.18), получающиеся из (32.16) соответственно с помощью "формального интегрирования и дифференцирования", имеют те же радиусы сходимости, что и исходный ряд. Интегрирование и дифференцирование названо здесь формальным, поскольку для функций комплексного аргумента эти операции у нас не были определены и они были произведены так, как если бы an и z были действительными числами. zn+1 = |z||anzn| < |z||anzn| следует, что если в точке z абсолютно сходится ряд (32.16), то в этой точке абсолютно сходится и ряд (32.17), а это означает, что радиус сходимости R1 ряда (32.17) не меньше радиуса сходимости R ряда (32.16): R1 > R. Из неравенства же |anzn| < n|anzn| = |nanzn-1||z| следует, что если в точке z абсолютно сходится ряд (32.18), то в этой точке абсолютно сходится и ряд (32.16), т. е. R > R2.
Покажем теперь, что
Возьмем какую-либо точку z 0 внутри круга сходимости ряда (32.17) и докажем, что в ней сходится ряд (32.18). Поскольку |z| < R1, то существует такое действительное число R, что
Запишем абсолютную величину члена ряда (32.18) следующим образом:
Положим q = |z/r|. В силу условия (32.22) 0 < q < 1. Ряд = qn+1 сходится (в этом легко убедиться, например, с помощью признака Даламбера). Поэтому последовательность его членов стремится к нулю и, следовательно, ограничена, т. е. существует такая постоянная c > 0, что для всех n = 0, 1, 2, ... выполняется неравенство
Из (32.23) и (32.24) следует неравенство |nanzn-1|< c rn+1 . Поскольку r R1, то ряд rn+1 абсолютно сходится, т. е. сходится ряд rn+1 , а поэтому по признаку сравнения сходится и ряд nanzn-1. Итак, из условия |z| < R1, следует абсолютная сходимость ряда (32.18). Это и означает выполнение неравенства (32.21). Из неравенств (32.20) и (32.21) следует, что имеет место равенство (32.19).
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (472)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |