Описание алгоритма нахождения НОД делением
Пример:
26. Теорема Кронекера - Капелли. Матричный способ решения систем линейных алгебраических уравнений. Система линейных уравнений имеет вид: a11 x1 + a12 x2 +... + a1n xn = b1, a21 x1 + a22 x2 +... + a2n xn = b2, (5.1) ... ... ... ... am1 x1 + am1 x2 +... + amn xn = bm. Здесь аi j и bi (i = ; j = ) - заданные, а xj - неизвестные действительные числа. Используя понятие произведения матриц, можно переписать систему (5.1) в виде: AX = B, (5.2) где A = (аi j) - матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных системы (5.1), которая называется матрицей системы, X = (x1, x2,..., xn)T, Упорядоченная совокупность n вещественных чисел (c1, c2,..., cn) называется решением системы (5.1), если в результате подстановки этих чисел вместо соответствующих переменных x1, x2,..., xn каждое уравнение системы обратится в арифметическое тождество; другими словами, если существует вектор C= (c1, c2,..., cn)T такой, что AC = B. Система (5.1) называется совместной, или разрешимой, если она имеет по крайней мере одно решение. Система называется несовместной, илинеразрешимой, если она не имеет решений. Матрица , образованная путем приписывания справа к матрице A столбца свободных членов, называется расширенной матрицей системы. Вопрос о совместности системы (5.1) решается следующей теоремой. Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранги матриц A и совпадают, т.е. Для множества М решений системы (5.1) имеются три возможности: 1) M = ∅ (в этом случае система несовместна); 2) M состоит из одного элемента, т.е. система имеет единственное решение (в этом случае система называется определенной); 3) M состоит более чем из одного элемента (тогда система называетсянеопределенной). В третьем случае система (5.1) имеет бесчисленное множество решений. Система имеет единственное решение только в том случае, когда Для решения произвольной системы линейных уравнений нужно уметь решать системы, в которых число уравнений равно числу неизвестных, - так называемые системы крамеровского типа: a11 x1 + a12 x2 +... + a1n xn = b1, a21 x1 + a22 x2 +... + a2n xn = b2, (5.3) ... ... ... ... ... ... an1 x1 + an1 x2 +... + ann xn = bn. Системы (5.3) решаются одним из следующих способов: 1. методом Гаусса, или методом исключения неизвестных; 2. по формулам Крамера; 3. матричным методом. Пример 2.12. Исследовать систему уравнений и решить ее, если она совместна: 5x1 - x2 + 2x3 + x4 = 7, 2x1 + x2 + 4x3 - 2x4 = 1, x1 - 3x2 - 6x3 + 5x4 = 0. Решение. Выписываем расширенную матрицу системы: . Вычислим ранг основной матрицы системы. Очевидно, что, например, минор второго порядка в левом верхнем углу = 7 ≠ 0; содержащие его миноры третьего порядка равны нулю:
Следовательно, ранг основной матрицы системы равен 2, т.е. r(A) = 2. Для вычисления ранга расширенной матрицы рассмотрим окаймляющий минор значит, ранг расширенной матрицы r( ) = 3. Поскольку r(A)≠ r( ), то система несовместна. В этой статье поговорим о матричном методе решения систем линейных алгебраических уравнений вида , которые в матричной форме записываются как , где - основная матрица системы, - матрица-столбец неизвестных переменных, - матрица свободных членов. Сначала опишем суть матричного метода, остановимся на условии применимости этого метода, далее подробно разберем решения нескольких примеров. Сразу оговоримся, что решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом и решение СЛАУ с помощью обратной матрицы есть одно и то же. Поэтому рекомендуем освежить в памяти теорию раздела обратная матрица: определение, свойства, методы нахождения. Приступим.Матричный метод решения систем линейных алгебраических уравнений - вывод формулы. Пусть для матрицы А порядка n на n существует обратная матрица . Умножим обе части матричного уравнения слева на (порядки матриц A ⋅ X и Впозволяют произвести такую операцию, смотрите статью операции над матрицами, свойства операций). Имеем . Так как для операции умножения матриц подходящих порядков характерно свойство ассоциативности, то последнее равенство можно переписать как , а по определению обратной матрицы (E – единичная матрица порядка n на n), поэтому Таким образом, решение системы линейных алгебраических уравнений матричным методом определяется по формуле . Другими словами, решение СЛАУ находится с помощью обратной матрицы . Мы знаем, что квадратная матрица А порядка n на n имеет обратную матрицу только тогда, когда ее определитель не равен нулю. Следовательно, СИСТЕМУ nЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С n НЕИЗВЕСТНЫМИ МОЖНО РЕШАТЬ МАТРИЧНЫМ МЕТОДОМ ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ОСНОВНОЙ МАТРИЦЫ СИСТЕМЫ ОТЛИЧЕН ОТ НУЛЯ.
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (449)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |