Аффинные преобразования плоскости. Свойства. Приложение к решению задач
Отображение плоскости P в плоскость R — закон или правило, по которому каждой точке плоскости P сопоставлена некоторая определенная точка на плоскости R. Обозначается f: P→R. Если нужно указать, что точке А на плоскости Р соответствует точка В на плоскости R, то напишем B=f(A), в этом случае В — образ точки А, точка А — прообраз точки В. Совсем не обязательно каждая точка плоскости R является образом какой-либо точки. Если для некоторого отображения плоскости P и R совпадают, то такое отображение называется преобразованием плоскости. Отображение f: P→R называется взаимно однозначным, если каждая точка плоскости R имеет прообраз, и притом только один. При выбранных системах координат на плоскостях P и R отображение сопоставляет паре чисел (x,y) пару чисел (x',y'). Задать отображение при выбранных СК — всё равно что задать 2 функции, каждая из которых зависит от 2-х независимых переменных: x΄=φ(x,y), y΄=ψ(x,y). Преобразование f плоскости Р называетсялинейным, если на Р существует такая декартова система координат, в которой f может быть записано формулами: x΄=a1x+b1y+c1, y΄=a2x+b2y+c2. Взаимно однозначное линейное преобразование называется аффинным. Для того, чтобы преобразование, задаваемое формулами x΄=a1x+b1y+c1, y΄=a2x+b2y+c2, было взаимно однозначным, необходимо и достаточно, чтобы . Таким образом, аффинное преобразование определяется формулами x΄=a1x+b1y+c1, y΄=a2x+b2y+c2 при условии . Геометрические свойства аффинных преобразований: Рассмотрим на плоскости прямую с уравнением и найдем её образ при преобразовании f. (Образ прямой — множество образов её точек). Радиус-вектор образа М' произвольной точки М можно вычислить так: = , где - постоянный вектор , а - радиус-вектор точки М. По свойствам линейных преобразований получаем . Так как f – аффинное преобразование, и то перейдет в вектор и уравнение является уравнением прямой линии. Итак, образы всех точек прямой лежат на прямой. F определяет взаимно однозначное отображение одной прямой на другую. 1.При аффинном преобразовании прямая линия переходит в прямую линию, отрезок переходит в отрезок, параллельные прямые переходят в параллельные. 2.При аффинном преобразовании отношение длин параллельных отрезков не изменяется. Док-во: пусть отрезки АВ и CD параллельны. Это значит, что существует такое число λ, что . Образы векторов и связаны той же зависимостью . Отсюда следует, что . Следствие. Если точка С делит отрезок АB в некотором отношении λ, то её образ C' делит образ A'B' отрезка АВ в том же отношении λ. Свойства аффинного преобразования: 1.Образом параллельных прямых являются параллельные прямые 2. При аффинном преобразовании сохраняется отношение двух отрезков, расположенных на одной прямой AB/CD=A΄B΄/C΄D΄ 3. При аффинном преобразовании сохраняется отношение параллельных отрезков 4.При аффинном преобразовании угол и отношение произвольных отрезков не сохраняются, так как любой треугольник можно перевести в любой другой. Поэтому высота и биссектриса треугольника преобразуются обычно в другие линии, медиана же переходит в медиану, так как середина отрезка переходит в середину. 5. При аффинном преобразовании параллелограмм переходит в параллелограмм, трапеция в трапецию.
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (739)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |