Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом

Рассмотрим матричный метод на примерах. В некоторых примерах мы не будем подробно описывать процесс вычисления определителей матриц, при необходимости обращайтесь к статье вычисление определителя матрицы.

Пример.

С помощью обратной матрицы найдите решение системы линейных уравнений .

Решение.

В матричной форме исходная система запишется как , где . Вычислим определитель основной матрицы и убедимся, что он отличен от нуля. В противном случае мы не сможем решить систему матричным методом. Имеем , следовательно, для матрицы А может быть найдена обратная матрица . Таким образом, если мы отыщем обратную матрицу, то искомое решение СЛАУ определим как . Итак, задача свелась к построению обратной матрицы . Найдем ее.

Мы знаем, что для матрицы обратная матрица может быть найдена как , где - алгебраические дополнения элементов .

В нашем случае

Тогда

Выполним проверку полученного решения , подставив его в матричную форму исходной системы уравнений . Это равенство должно обратиться в тождество, в противном случае где-то была допущена ошибка.

Следовательно, решение найдено верно. или в другой записи .

27. Группы. Свойства групп. Критерий подгруппы

Алгебра G = с бинарной операцией называется группой, если:

1) бинарная операция ассоциативна;

2) во множестве существует элемент нейтральный относительно операции ;

3) для любого элемента в множестве существует элемент симметричный относительно операции .

Существуют различные классификации групп. Наиболее распространёнными являются следующие.

1. В зависимости от того, является ли основное множество конечным или бесконечным, выделяют соответственно конечные и бесконечные группы.

2. В зависимости от того, обладает ли бинарная операция свойством коммутативности или нет, выделяют соответственно коммутативные (абелевы) и некоммутативные (неабелевы) группы.

3. По виду бинарной операции выделяют аддитивные (операция сложения) и мультипликативные (операция умножения) группы.

Примеры.

1. Алгебра Z = является аддитивной абелевой группой. Действительно, операция сложения целых чисел ассоциативна; нейтральным относительно сложения целых чисел является целое число ноль; для каждого целого числа существует ему симметричное относительно сложения – противоположное по знаку целое число; кроме того, сложение целых чисел коммутативно.

. Пусть a — элемент группы G. Для произвольного целого числа n положим a n =    1, если n = 0, a . . . a, если n > 0 (n множителей), (a −n ) −1 , если n < 0. Предложение 2.1. Пусть a — элемент некоторой группы и n, m ∈ Z. Тогда a n+m = a na m и (a n ) m = a nm. Определение 2.3. Непустое подмножество H группы G называется подгруппой группы G (пишут H ≤ G), если H является 9 группой относительно той же операции, которая определена на G.

28. Поле. Поле комплексных чисел. Действия с комплексными числами в тригонометрической форме.

Полем называется непустое множество, для элементов которого определено два действия, называемых сложением и умножением, которые удовлетворяют следующим аксиомам:

1. (коммутативность сложения);

2. (ассоциативность сложения);

3. (существование нуля);

4. (существование противоположного элемента);

5. (коммутативность умножения);

6. (ассоциативность умножения);

7. (существование единицы);

8. (существование обратного элемента);

9. (дистрибутивность);

10. (в поле должно существовать хотя бы два элемента).

Пример. Поля: – поле вещественных чисел, – поле рациональных чисел,

Полем комплексных чисел называется множество , обладающее следующими свойствами:

1. — поле;

2. ( содержит ). При этом предполагается, что действия в в применении к элементам из приводят к тем же результатам, что и действия в .

3. Любое квадратное уравнение с вещественными коэффициентами имеет в поле корень.

4. Каждый элемент поля является корнем какого-либо квадратного уравнения с вещественными коэффициентами.

Рассмотрим уравнение

Оно не имеет вещественных корней, но, по аксиоме 3, имеет корень в поле . Один из корней этого уравнения зафиксируем и обозначим (image) — мнимая единица.

Пусть

Теорема. Любой элемент поля можно единственным образом представить в виде , где .

Доказательство.

Пусть — произвольный элемент . По аксиоме 4, — корень квадратного уравнения с коэффициентами из

Если — вещественное число, то его можно представить в виде . Пусть не является вещественным числом. Тогда квадратное уравнение не имеет вещественных корней и имеет отрицательный дискриминант.

В любом случае имеет требуемый вид.

Докажем единственность.

Предположим, что . Тогда

Пусть . Тогда

Получаем, что . Это невозможно, значит, . Тогда .