Вычисление определенного интеграла способом подстановки
При вычислении определённого интеграла так же приходится применять различные приёмы, в том числе и способ подстановки. Подстановка в определённом интеграле делается аналогично подстановке в неопределённом интеграле, но, кроме того, для получающегося интеграла нужно находить новые пределы интегрирования. Правило: 1) Определить, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл; 2) Определить, какую часть подынтегральной функции необходимо заменить новой переменной, записать эту замену; 3) Вычислить дифференциал новой переменной и выразить через него оставшуюся без замены часть подынтегрального выражения; 4) Найти пределы интегрирования для новой переменной; 5) Выполнить замены под знаком интеграла; 6) Вынести за знак интеграла постоянный множитель; 7) Вычислить полученный табличный интеграл; 8) В полученное его выражение подставить вместо новой переменной сначала верхний предел интегрирования, а затем нижний, из первого результата вычесть второй. Замечание: В отличие от неопределенного интеграла после подстановки новой переменной и замены пределов интегрировании в определённом интеграле все вычисления проводят с новой переменной и к старой переменной не возвращаются. Пример: Вычислить: 1. ; Решение: 1) ; 2) ; 3) ; ; 4)
Ответ: . 2. ; ; 1) ; 2) ; 3) ; ; 4)
; ; 1) ; 2) ; 3) ; ; 4)
; ; Ответ: . 3. ; 1) ; 2) ; 3) ; ;
4)
Ответ: . Упражнения: Вычислить определённые интегралы:
Ответы:
Площадь криволинейной трапеции. Геометрический смысл определенного интеграла Определение: Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная осью абсцисс ( ), двумя прямыми, параллельными оси ординат ( , ), непрерывной и неотрицательной функцией при рассматриваемых значениях аргумента. Задача №1. Является ли фигура криволинейной трапецией? Рис. 1. Рис. 2. Рис. 3. Рис. 4.
Рис. 5. Рис. 6. Рис. 7. Решение:
Задача №2. Выразить площади фигур через площади криволинейных трапеций. Рис. 1. Рис. 2. Рис. 3. Рис. 4. Рис. 5. Решение:
Задача №3. Найти концы интервала, на котором построена фигура, ограниченная функциями: 1) ; ; 2) ; ; 3) ; . Рис. 1. Рис. 2. Рис. 3. Решение: 1) Концами интервала a u b, на котором построена данная криволинейная трапеция, являются абсциссы точек пересечения параболы и оси абсцисс . Решим способом подстановки систему уравнений: Û Û ; ; ; ; ; ; ; Ответ: ; . 2) Концами интервала a u b, на котором построена данная фигура, являются абсциссы точек пересечения параболы и прямой . Решим способом подстановки систему уравнений: Û Û ; ; ; ; ; ; Ответ: ; . 3) Концами интервала a u b, на котором построена данная фигура, являются абсциссы точек пересечения парабол и . Решим способом подстановки систему уравнений: Û Û ; ; ; ; ; ; Ответ: ; . Упражнения:
Построим криволинейную трапецию Р0М0МР, ограниченную функцией , положительной и возрастающей при рассматриваемых значениях аргумента .
От чего зависит площадь криволинейной трапеции Р0М0МР? 1. Площадь криволинейной трапеции Р0М0МР зависит от длины отрезка , на котором она построена: чем больше длина отрезка , тем больше площадь криволинейной трапеции Р0М0МР . 2. Площадь криволинейной трапеции Р0М0МР зависит от вида ограничивающей её функции .
Вывод: Площадь криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной и неотрицательной функцией на отрезке оси абсцисс равна определённому интегралу в пределах от а до b от функции . Вывод: Геометрический смысл определённого интеграла состоит в том, что определённый интеграл в пределах от а до b от непрерывной и неотрицательной функции равен площади криволинейной трапеции, ограниченной функцией на отрезке оси абсцисс. Пример:
Решение: Воспользуемся формулой площади криволинейной трапеции:
. Ответ:
Решение: ; - ветви направлены вниз; ; ; ; ; - вершина параболы; - ось симметрии параболы;
Концы интервала, на котором построена данная криволинейная трапеция, являются абсциссами точек пересечения параболы и оси абсцисс . Решим способом подстановки систему уравнений: Û Û ; ; ; ; ; ; ; Воспользуемся формулой площади криволинейной трапеции: .
Ответ: Упражнения:
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (924)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |