Краткие теоретические сведения. Задачник-практикум

Задачник-практикум

По линейной алгебре

Часть I.

Курск, 2015

 

Задачник-практикум рассмотрен и утвержден на заседании кафедры «Алгебры, геометрии и ТОМ» «___» _________ 2015 г., протокол № ___

 

Авторы: к.ф.м.н., доцент Толстова Г.С., к.т.н.,

доцент Бурилич И.Н., ст.преподаватель Бочарова О.Е.

 

Задачник-практикум по линейной алгебре, часть I:учебное пособие для студентов – Курск: 2015. – 68с.

Содержание.

 

Тема 1. Матрицы. Операции над матрицами. 4

1.1. Краткие теоретические сведения. 4

1.2. Пример выполнения заданий практической части. 9

1.3. Задания для аудиторного занятия. 13

1.4. Домашнее задание. 14

Тема 2. Определители n-го порядка. Методы вычисления. 16

2.1. Краткие теоретические сведения. 16

2.2 . Пример выполнения заданий практической части. 19

2.3. Задания для аудиторного занятия. 25

2.4. Домашнее задание. 26

Тема 3. Нахождение обратных матриц. Решение матричных уравнений. 27

3.1. Краткие теоретические сведения. 27

3.2. Пример выполнения заданий практической части. 29

3.3. Задания для аудиторного занятия. 36

3.4. Домашнее задание. 37

Тема 4. Ранг матрицы.. 38

4.1. Краткие теоретические сведения. 38

4.2. Пример выполнения заданий практической части. 40

4.3. Задания для аудиторного занятия. 43

4.4. Домашнее задание. 44

Тема 5. Решение систем линейных уравнений: матричный способ, формулы Крамера. Теорема Кронекера-Капелли: исследование числа решений систем 45

5.1. Краткие теоретические сведения. 45

5.2. Пример выполнения заданий практической части. 48

5.3. Задания для аудиторного занятия. 53

5.4. Домашнее задание. 55

Тема 6. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. 57

Фундаментальная система решений. 57

6.1. Краткие теоретические сведения. 57

6.2. Пример выполнения заданий практической части. 60

6.3. Задания для аудиторного занятия. 65

6.4. Домашнее задание. 67

Тема 1. Матрицы. Операции над матрицами

Краткие теоретические сведения

Определение. Матрицей размера m´n называется прямоугольная таблица, состоящая из m строк и n столбцов, такая что на пересечении строки и столбца находится ровно одно число. Таблица, задающая матрицу, записывается в круглых скобках. Числа, из которых состоит матрица, называются элементами матрицы.

Например, – матрица размера 2´3.

Определение. Матрица размера 1´n называется матрица-строка; матрица размера m´1 называется матрица-столбец.

Например, А=(1 2 3 4 5 6) матрица-строка (размера 1´6), – матрица-столбец (размера 4´1).

Определение. Если в матрице число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, в противном случае (число строк не равно числу столбцов) прямоугольной.

Например, – прямоугольная матрица, – квадратная матрица четвертого порядка (матрица размера 4´4).

Определение. Элементы а_ij образуют главную диагональ (являются диагональными), если i=j, в противном случае элементы матрицы называют недиагональными.

Элементы а_n1, a_{n-1 2},…, a_1n образуют побочную диагональ.

Определение. Квадратная матрица n-го порядка называется диагональной, если все недиагональные элементы равны 0.

То есть диагональная матрица имеет вид .

Например, – диагональная матрица.

Определение. Диагональная матрица А, все диагональные элементы которой равны между собой, называется скалярной матрицей.

Например, – скалярная матрица.

Определение. Скалярная матрица Е, все диагональные элементы которой равны единице, называется единичной матрицей. То есть, единичная матрица имеет вид .

Например, – единичная матрица третьего порядка.

Определение. Матрица О, все элементы которой равны 0, называется нулевой матрицей. То есть нулевая матрица имеет вид .

 

Определение. Транспонированием матрицы называется такое преобразование, при котором строки и столбцы меняются местами с сохранением их номеров. Полученная в результате такого преобразования матрица называется транспонированной по отношению к исходной и обозначается А^t

Например, .

Рассмотрим множество квадратных матриц

Определение. Под суммой квадратных матриц А и В будем понимать квадратную матрицу С, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц А и В.

"A,BÎT (A+B)=С, где , i=1,2,...,n, j=1,2,...,n.

Например, .

Определение. Произведением квадратной матрицы А на число к, будем называть квадратную матрицу к×А, каждый элемент которой равен к×а_ij, где а_ij– элемент i-ой строки и j-го столбца матрицы А.

Например, .

Определение. Разностью матриц В и А называется матрица Х=В-А, такая что А+Х=В.

Например, .

Определение. Матрица (-А)=-1×А называется противоположной матрице А.

Например, матрица является противоположной матрице .

Операции сложения матриц и умножения матрицы на число обладают следующими свойствами:

1. А+В=В+А (коммутативность сложения матриц).

2. А+(В+С)=(А+В)+С (ассоциативность сложения матриц).

3. А+О=А

4. А+(-А)=О

5. 1×А=А

6. к×(А+В)=к×А+к×В (дистрибутивность сложения матриц относительно умножения матрицы на число)

7. (к+t)×A=к×А+t×A

8. к×(t×A)=(к×t)×A

 

Определение. Под произведением квадратных матриц А и В будем понимать матрицу С, у которой элемент, стоящий на пересечении i строки и j столбца, получен как сумма произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.

"A,BÎT (A´B)=С, где

Например, найдем произведение квадратных матриц третьего порядка: ; . Пусть A´B=С. Найдем по определению каждый элемент матрицы с:

с₁₁=а₁₁×b₁₁+a₁₂×b₂₁+a₁₃×b₃₁=1×(-1)+2×4+(-2) ×(-2)=11;

с₁₂=а₁₁×b₁₂+a₁₂×b₂₂+a₁₃×b₃₂=1×2+2×0+(-2) ×7=-12;

с₁₃=а₁₁×b₁₃+a₁₂×b₂₃+a₁₃×b₃₃=1×3+2×1+(-2) ×(-3)=11;

с₂₁=а₂₁×b₁₁+a₂₂×b₂₁+a₂₃×b₃₁=3×(-1)+4×4+(-3) ×(-2)=19;

с₂₂=а₂₁×b₁₂+a₂₂×b₂₂+a₂₃×b₃₂=3×2+4×0+(-3) ×7=-15;

с₂₃=а₂₁×b₁₃+a₂₂×b₂₃+a₂₃×b₃₃=3×3+4×1+(-3_×(-3)=22;

с₃₁=а₃₁×b₁₁+a₃₂×b₂₁+a₃₃×b₃₁=-5×(-1)+0×4+7×(-2)=-9;

с₃₂=а₃₁×b₁₂+a₃₂×b₂₂+a₃₃×b₃₂=-5×2+0×0+7×7=4;

с₃₃=а₃₁×b₁₃+a₃₂×b₂₃+a₃₃×b₃₃=-5×3+0×1+7×(-3)=-36;

Таким образом, матрица .

Определение. Если A´B=В´А, то матрицы А и В называются перестановочными или коммутирующими.

Не всякие две матрицы являются перестановочными. Единичная матрица перестановочна с любой матрицей.

Например, матрицы и являются перестановочными. Действительно,

;

;

Таким образом, A´B=В´А.

Умножение матриц обладает следующими свойствами.

1. A´(B´С)=(A´B)´С

2. (А+В)´С=А´С+В´С

3. С´(А+В)= С´А+С´В

4. к×(A´B)= (к×A)´B

 

Определение. Пусть А – квадратная матрица, n³0 некоторое целое число. Аⁿ – n-ая степень матрицы А, причем 1) А⁰=Е; 2) А¹=А; 3) Аⁿ = А´А´…´А (n раз) при n³2.

 

Например, ;

и так далее.

Операция сложения на множестве прямоугольных матриц определяется аналогично операции сложения квадратных матриц, с тем условием, что число строк первой матрицы равно числу строк второй, число столбцов первой матрицы равно числу столбцов второй.

Операция умножения прямоугольных матриц определяется аналогично операции умножения квадратных матриц при том условии, что число столбцов первой матрицы должно быть равно числу строк второй матрицы. (То есть умножать можно прямоугольную матрицу А размера m´n на прямоугольную матрицу В размера n´t. При этом матрица А´В будет иметь размер m´t.)