Краткие теоретические сведения. Рассмотрим систему s линейных уравнений с n неизвестными

Рассмотрим систему s линейных уравнений с n неизвестными

(6.1)

1. Если среди уравнений системы есть уравнения вида 0x₁+0x₂+...+0x_n=b_k, где b_k¹0, то система уравнений (6.1) несовместна.

2. Пусть в каждом уравнении системы есть хотя бы по одному отличному от 0 коэффициенту. Если a₁₁ =0, то перенумерацией неизвестных добьемся, чтобы первый коэффициент был отличен от нуля. Таким образом, можем считать , что a₁₁¹0.

Исключим теперь слагаемые, содержащие х₁, из всех остальных уравнений. Для этого к каждому i-ому (i=2,...,n) уравнению прибавим первое, умноженное на (i=2,...,n).

продолжим аналогичные рассуждения для переменной х₂ (начиная со второго уравнения).

Если в системе уравнений в результате преобразований появились уравнения вида 0x₁+0x₂+...+0x_n=0, то их отбрасываем, а если появилось уравнение вида 0x₁+0x₂+...+0x_n=b_k, где b_k¹0, то полученная система уравнений , а следовательно и равносильная ей система уравнений (6.1), несовместна.

Если система не содержит уравнений вида 0x₁+0x₂+...+0x_n=b_k, где b_k¹0, то будем считать, что a₂₂¹0, и исключим х₂ из всех оставшихся уравнений, прибавляя к каждому i-ому (i=3,...,n) уравнению второе, умноженное на (i=3,...,n). Так как система содержит конечное число уравнений, то процесс исключения неизвестных конечен. То есть через некоторое число шагов мы получим систему уравнений

(6.2)

Здесь ..., , k£s, и, очевидно, k£n.

В этом случае система уравнений (6.2) и, следовательно, система уравнений (6.1) совместны, причем, если k=n, то система имеет единственное решение, а если k<n ,то система уравнений имеет бесконечное множество решений.

Действительно, если k=n, то система имеет вид

(6.3)

Так как , то из последнего уравнения системы (6.3) найдем x_n, подставим найденное значение во все остальные уравнения системы и из предпоследнего уравнения найдем x_n-1 и так далее. Все переменные определяются однозначно и система (6.3) и, следовательно, система уравнений (6.1) имеют единственное решение.

Если k<n, то система уравнений имеет вид (6.3). Неизвестные х_k+1, x_k+2, ..., x_n объявляем свободными. Этим переменным можно присвоить любые значения и поднимаясь по системе (6.3) снизу вверх, найти значения остальных переменных, которые для данного набора свободных переменных определяются однозначно. Таким образом, давая различные значения свободным переменным х_k+1, x_k+2,...,x_n,получим все решения системы.

Вывод. Метод Гаусса применим к решению любой системы линейных уравнений. При этом система (6.1) будет несовместной, если в процессе преобразований получится уравнение вида 0x₁+0x₂+...+0x_n=b_k, где b_k¹0,или система будет совместной. Совместная система имеет единственное решение, если k=n, и будет иметь множество решений, если k<n.

Замечание 1. Однородная система уравнений всегда совместна, так как в ней не может быть уравнений вида 0x₁+0x₂+...+0x_n=b_k, где b_k¹0. Она всегда имеет нулевое решение, а если k<n,то система имеет и ненулевые решения.

Замечание 2. На практике все преобразования производят не над уравнениями системы, а над строками расширенной матрицы системы.

Если b₁=b₂=…=b_s=0, тогда система линейных уравнений имеет вид

(6.4)

и называется однородной. Очевидно, что однородная система всегда совместна, то есть множество ее решений не пусто. В частности, решением любой однородной системы линейных уравнений будет решение: x₁=…=x_n=0. Это решение называется нулевым, или тривиальным.

Будем обозначать решение системы (6.4) вектором

x_a=(a₁, a₂, …, a_n),

то есть x_a будет решением системы (6.6), если

=0, i=1, 2, …, s.

Рассмотрим множество всех решений системы (6.4)

M={x_a½x_a=(a₁, a₂, …, a_n) Ù =0, i=1, 2, …, s}.

Теорема. М - линейное подпространство линейного пространства R⁽ⁿ⁾.

Определение. Базис линейного пространства решений системы линейных однородных уравнений называется фундаментальной системой решений.