Л А Б О Р А Т О Р Н А Я Р А Б О Т А 2

ИССЛЕДОВАНИЕ ВРЕМЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ЗВЕНЬЕВ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ САР

 

Ц Е Л Ь Р А Б О Т Ы - исследование временных характеристик типовых звеньев линейных стационарных САР.

2.1. краткие сведения из теории

К временным характеристикам систем (звена) относятся переходная функция и импульсная переходная (весовая) функция.

Переходной функцией h(t) называют реакцию (отклик) системы (звена) на входное воздействие в виде единичной ступенчатой функция 1(t).

Импульсной переходной функцией w(t) называют реакцию (отклик) системы (звена) на входное воздействие в виде идеального импульса (d – функции).

Любая из временных характеристик содержит исчерпывающие сведения о динамике системы (звена), т.е. на ее основании может быть составлено математическое описание системы (звена) в виде дифференциального уравнения, либо передаточной функции.

Связь между временными характеристиками системы (звена) определяется соотношениями:

.

Связь между временными характеристиками и передаточной функцией W(p) определяется следующими соотношениями:

где символ L означает прямое преобразование Лапласа от временной характеристики; L^–1– обратное преобразование Лапласа.

В данной работе, используя моделирование, получают переходную функцию h(t) и весовую функцию w(t) типовых звеньев, которые рассматриваются как модели реальных звеньев, входящих в состав системы.

Экспериментальные исследования заключаются в следующем. На вход звена подается сигнал в виде единичной ступенчатой функции. На выходе звена регистрируется реакция последнего на входное воздействие. При подаче на вход звена d – функции, на его выходе регистрируется весовая функция. По полученным графикам переходной и весовой функций рассчитываются требуемые коэффициенты передаточной функции.

2.1.1. АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО

Передаточная функция апериодического звена

, (2.1)

где k и Т– соответственно коэффициент передачи и постоянная времени звена.

Его дифференциальное уравнение

. (2.2)

Переходная функция звена определяется из его дифференциального уравнения (2.2) при x(t) = 1(t)

при t > 0, (2.3)

т.е. переходная, функция представляет собой экспоненту вида рис. 2.1, a. Свойства экспоненты позволяют легко находить постоянную времени и коэффициент передачи звена.

При x(t) = a 1(t) и

(2.4)

При t = 0 у(0) = 0.

Зная значения t = t₁ и y(t₁) = с , определяем T

=> . (2.5)

Импульсная переходная функция звена определяется путем дифференцирования переходной функции h(t):

, (2.6)

т.е. весовая функция представляет собой экспоненту вида рис. 2.1.б.

При , .

В момент времени t₁

=> (2.7)

(2.8)

 

 

2.1.2. ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩИЕ ЗВЕНЬЯ.

Передаточные функции дифференцирующих звеньев:

- идеального (2.9)

- реального (2.10)

где k - коэффициент передачи звена; Т – постоянная времени звена.

Дифференциальные уравнения дифференцирующих звеньев:

- идеального (2.11)

- реального (2.12)

Переходная функция дифференцирующего звена определяется из его дифференциального уравнения (2.11), (2.12) при x(t) = 1(t) (рис. 2.2, а)

- идеального при t > 0, (2.13)

- реального при t > 0. (2.14)

 

Весовая функция дифференцирующего звена (рис. 2.2, б):

- идеального , (2.15)

- реального . (2.16)

 

 

 

Для реального дифференцирующего звена можно определить коеффициенты передаточной функции.

Из переходной функции (рис. 2.2, а): ; . (2.17)

Из весовой функции (рис. 2.2, б): ; . (2.18)

2.1.3. ИНТЕГРИРУЮЩИЕ ЗВЕНЬЯ.

Передаточные функции интегрирующих звеньев:

- идеального (2.19)

- реального (2.20)

где k - коэффициент передачи звена; Т – постоянная времени звена.

Дифференциальные уравнения интегрирующих звеньев:

- идеального (2.21)

- реального (2.22)

Переходная функция интегрирующего звена определяется из его дифференциального уравнения (2.21), (2.22) при x(t) = 1(t) (рис. 2.3, а)

- идеального при t > 0, (2.23)

- реального при t > 0. (2.24)

Весовая функция интегрирующего звена (рис. 2.3, б):

- идеального , (2.25)

- реального . (2.26)

 

 

Для реального интегрирующего звена можно определить коеффициенты передаточной функции.

Из переходной функции (рис. 2.3, а):

(2.27)

Из весовой функции (рис. 2.3, б): ; . (2.28)

2.1.4. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ЗВЕНО

Передаточная функция колебательного звена

. (2.29)

где k – коэффициент передачи , Т – постоянная времени , x – декремент затухания (О < x < 1).

Его дифференциальное уравнение

. (2.30)

Переходная функция звена:

 

при t > 0, (2.31)

где – степень устойчивости,

– частота собственных колебаний,

– фазовый сдвиг.

Вид графика переходной функции представлен на рис. 2.4, а.

Весовая функция звена (рис. 2.4, б):

(2.32)

 

Параметры T, x, j, a, w₀ связаны между собой зависимостями и полностью определяются любой парой величин, например, a и w₀:

; ; . (2.33)

Величины a и w₀ легко найти по графикам переходной (рис. 2.4,а) и весовой (рис. 2.4,б) функции. Так, например, a представляет собой величину, обратную постоянной времени Т_Э экспоненты, огибающей затухающие колебания, а параметр w₀ – круговую частоту этих колебаний:

для переходной функции: ; ; (2.34)

для весовой функции: ; . (2.35)

2.2. Моделирование временных характеристик типовых звеньев с использованием MATLAB

На рис. 2.5 представлена схема моделирования для получения переходных характеристик типовых звеньев с использованием пакета simulink.

	Рисунок 2.5. Схема получения переходных характеристик типовых динамических звеньев.

 

Для получения переходной характеристики на вход звена подается ступенчатое воздействие, параметры которого задаются в блоке Step (рис. 2.6).

Вместо блока W(p) (рис. 2.5) в схему моделирования вставляется модель исследуемого звена, структурные схемы которых приведены на рис. 2.7.

На рис. 2.8 представлена схема моделирования для получения импульсных переходных характеристик типовых звеньев с использованием пакета simulink. Особенность данной схемы заключается в формировании единичного импульса, для получения которого применяются три блока: два блока Step и один блок суммирования - Sum (рис. 2.8). Параметры блоков Step и Step1 задаются согласно рис. 2.9.

 

	Рисунок 2.7. - Модели типовых звеньев при использовании пакета simulink. а) апериодическое звено; б) идеальное дифференцирующее звено; в) реальное дифференцирующее звено; г) идеальное интегрирующее звено; д) реальное интегрирующее звено.

 

Рисунок 2.8. Схема получения импульсных переходных характеристик типовых динамических звеньев.

 

 

		а)
	б)

 

	Рисунок 2.9. Установка параметров единичного импульсного воздействия

 

2.3. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Собрать схему получения переходных функций типовых звеньев согласно рис. 2.5. В качестве исследуемого звена (блок W(p)) использовать модель апериодического звена (рис. 2.7, а). Установить коэффициент передачи k = 2; постоянную времени Т = 2 с.

2. Выполнить моделирование переходной характеристики апериодического звена. Для экспериментального определения коэффициентов передаточной функции произвести измерения необходимых параметров и занести их в таблицу 2.1.

 

 

Таблица 2.1.

Звено	a	b	c1	c2	t1, c	T2, c	T0, c
Апериодическое				---		---	---
Реальное дифференцирующее				---		---	---
Реальное интегрирующее		---					---
Колебательное звено				---		---

 

3. Получить графики переходных функций дифференцирующих звеньев (k = 2; T = 2 c), интегрирующих звеньев (k = 2; T = 2) и колебательного звена (k = 2; Т = 0.5 с; x = 0.3). Зарисовать полученные графики переходных функций и занести в таблицу 2.1 требуемые параметры.

4. Исследовать влияние коэффициентов передаточной функции k , Т, x на параметры переходных функций. Для этого необходимо получить графики переходных функций для следующих случаев:

- апериодическое звено: k = 4, T = 2 c; k = 2, T = 4 c;

- реальное дифференцирующее звено: k = 4, T = 2 c; k = 2, T = 4 c;

- реальное интегрирующее звено: k = 4, T = 2 c; k = 2, T = 4 c;

- колебательное звено k = 4, x = 0.3, T = 0.5 c; k = 2, x = 0.3, T = 0.8 c;

k = 2, x = 0.5, T = 0.5 c.

Полученные графики необходимо приводить в одной системе координат с исходной переходной функцией.

5. Собрать схему получения импульсных переходных функций типовых звеньев согласно рис. 2.8. В качестве исследуемого звена (блок W(p)) использовать модель апериодического звена (рис. 2.7, а), с такими же параметрами, как и при получении переходной функции.

6. Выполнить моделирование импульсной переходной характеристики апериодического звена. Для экспериментального определения коэффициентов передаточной функции произвести измерения необходимых параметров и занести их в таблицу 2.2.

Таблица 2.2.

Звено	b	c1	с2	t1, c	T0, c
Апериодическое			---		---
Реальное дифференцирующее					---
Реальное интегрирующее			---		---
Колебательное звено				---

7. Получить графики импульсных переходных функций дифференцирующих звеньев, интегрирующих звеньев и колебательного звена. Параметры звеньев взять из п. 3. Зарисовать полученные графики импульсных переходных функций и занести в таблицу 2.2 требуемые параметры.

8. Используя формулы (2.4), (2.5), (2.17), (2.27), (2.33), (2.34) и результаты экспериментальных измерений (табл. 2.1) определить экспериментальные значения параметров передаточных функций звеньев по переходным характеристикам.

9. Используя формулы (2.7), (2.8), (2.18), (2.28), (2.33), (2.35) и результаты экспериментальных измерений (табл. 2.2) определить экспериментальные значения параметров передаточных функций звеньев по импульсным переходным характеристикам.

10. Сделать выводы по результатам исследований: сопоставить экспериментальные данные с теоретическими значениями коэффициентов передаточных функций, оценить погрешности, определить влияние коэффициентов передаточной функции на временные характеристики типовых звеньев.

2.4. содержание отчета

1. Краткое описание задачи и метода исследования.

2. Схемы моделирования звеньев и схемы получения временных характеристик.

3. Графики переходных функций.

4. Графики импульсных переходных функций.

5. Передаточные функции исследуемых звеньев.

6. Экспериментальные и теоретические значения параметров передаточных функций, необходимые расчеты.

7. Выводы о работе.